命題
K を可換とは限らない体とする。
| | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。
E と F を K 上の位相線形空間とする。
E と F の位相はそれぞれ半ノルムの集合Γと Γ' により定義される
(過去スレ008の469)とする。
H を E から F への線形写像の集合とする。

以下の条件はすべて同値である。

(1) H は同程度連続(>>315)である。

(2)
任意の q ∈ Γ' に対して p_i ∈ Γ, i = 1, . . . , n と
a ＞ 0 があり、任意の x と 任意の f ∈ H に対して
q(f(x)) ≦ a sup{ p_i(x) | i = 1, . . ., n }
となる。

(3) 任意の q ∈ Γ' に対して E の 0 の近傍 W があり、
関数の集合 { qf | f ∈ H } は W において一様に有界である。
即ち β ＞ 0 があり任意の x ∈ W と任意の f ∈ H に対して
q(f(x)) ≦ β となる。

(4) sup {qf | f ∈ H } は連続な半ノルムである。

証明
(1) と (2) の同値は >>537 で証明されている。
(2) ⇒ (3) は明らかである。
(3) ⇒ (2) は >>537 の証明から分かる。
(2) ⇒ (4) は明らかである。
(4) ⇒ (3) は明らかである。
証明終