命題
K を可換とは限らない体とする。
| | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。
E と F を K 上の位相線形空間とする。
E と F の位相はそれぞれ半ノルムの集合Γと Γ' により定義される
(過去スレ008の469)とする。
H を E から F への線形写像の集合とする。

H が同程度連続(>>315)であるためには次が成り立つことが必要十分である。

任意の q ∈ Γ' に対して p_i ∈ Γ, i = 1, . . . , n と
a ＞ 0 があり、任意の x と 任意の f ∈ H に対して
q(f(x)) ≦ a sup{ p_i(x) | i = 1, . . ., n }
となる。

証明
条件が成り立てば H は 0 で同程度連続であるから >>534 より
H は同程度連続である。

条件が必要なことを示す。
H は同程度連続であるから、任意の q ∈ Γ' と β ＞ 0 に対して
p_i ∈ Γ, i = 1, . . . , n と α ＞ 0 があり、
sup{p_i(x) | i = 1, ..., n} ≦ α なら
任意の f ∈ H に対して q(f(x)) ≦ β となる。

p(x) = sup{p_i(x) | i = 1, ..., n} とおく。

（続く）