>>521 を訂正する。

補題
X を位相空間、Y を可算な基本近縁系を持つ分離一様空間とし、
F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。
(f_n), n ≧ 1 を F(X, Y) の要素からなる関数列とする。
H = { f_n | n = 1, 2, . . . } とおく。
各 x ∈ X において H(x) = { f(x) | f ∈ H } が Y で相対コンパクト
(>>364)とする。
D = {a_1, a_2, . . . } を X の可算部分集合とする。

このとき (f_n) の部分列 (f_n_k), k ≧ 1 で D の各点で収束するものが
存在する。

証明
Y の点列 f_1(a_1), f_2(a_1), . . . は相対コンパクトであるから
>>519 と>>517より収束する部分列 (f_1_n(a_1)), n ≧ 1 を持つ。
f_1_1(a_2), f_1_2(a_2), . . . は相対コンパクトであるから
(f_1_n(a_2)) は収束する部分列 (f_2_n(a_2)), n ≧ 1 を持つ。
以下同様にして収束する部分列 (f_m_n(a_m)), n ≧ 1 を選ぶ。
このとき、対角列 (f_n_n), n ≧ 1 は (f_n) の部分列であり、
D の各点で収束する。
証明終