命題
K を実数体または複素数体とする。
E, F を K 上の位相線形空間とする。
f: E → F を連続な線形写像とする。
M が有界(>>35)な E の部分集合であれば f(M) も有界である。

証明
V を F の 0 の近傍とする。
f^(-1)(V) は E の 0 の近傍である。

M は有界だから M ⊂ λf^(-1)(V) となる λ ∈ K がある。
従って、x ∈ M に対して x = λy となる y ∈ f^(-1)(V) がある。
f(x) = λf(y) ∈ λV である。
よって、f(M) ⊂ λV である。
>>36 より f(M) は有界である。
証明終