命題
X を位相空間、Y を一様空間(過去スレ006の194)とし、
F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。
C(X, Y) を X から Y への連続写像全体とする。
H を F(X, Y) の部分集合で同程度連続(>>315)であるとする。
Φ を H のフィルター(過去スレ006の75)とする。
Φ が f ∈ F(X, Y) に単純収束の位相(過去スレ007の154)で収束
するなら f ∈ C(X, Y) であり、Φ は f にコンパクト収束の位相
(過去スレ007の168)で収束する。

証明
>>326 より F(X, Y) における単純収束の位相による H の閉包 H~ は
同程度連続である。
よって、H~ ⊂ C(X, Y) である。
よって、f ∈ H~ だから f ∈ C(X, Y) である。
>>334 より H~ において単純収束の位相とコンパクト収束の位相は
一致する。
従って、Φ は f にコンパクト収束の位相で収束する。
証明終