命題
X をσ-コンパクト(過去スレ008の100)な局所コンパクト空間とし、
Y を可算な基本近縁系を持つ一様空間とする。
C(X, Y) を X から Y への連続写像全体とする。
C(X, Y) にコンパクト収束の一様構造(過去スレ007の168)を入れる。

このとき、C(X, Y) は可算な基本近縁系を持つ。

証明
>>500 より、X の開集合の列 (U_n), n = 1, 2, . . . で
各 U_n の閉包 (U_n)~ がコンパクトで (U_n)~ ⊂ U_(n+1), n = 1, 2, ...
となり、(U_n) が X の被覆になるものが存在する。
K_n = (U_n)~ とおく。
V_n, n = 1, 2, . . . を Y の基本近縁系とする。

W(K_n, V_m) =
{(f,g) ∈ C(X,Y)×C(X,Y); 任意の x ∈ K_n に対して (f(x),g(y)) ∈ V_m}
とおく。

(U_n) は X の被覆であるから、X の任意のコンパクト集合 K に対して
K ⊂ U_n となる n がある。
このとき、K ⊂ K_n であるから
任意の m ≧ 1 に対して W(K_n, V_m) ⊂ W(K, V_m) である。
よって、n と m を動かしたときの W(K_n, V_m) の有限個の共通部分が
C(X, Y) の基本近縁系である。
これらは可算である。
証明終