>>484

ご推察のとおり、>>473 の証明にも極大フィルターの存在と
ΠX_i が空でないという主張以外に選択公理は使われていました。
X_i が分離でないときに完備空間の積が完備というところです。
この点でもTychonoffの定理の証明と類似ですね。

完備空間の積が完備という命題の過去スレ006の255の証明を再現します。

p_i : X → X_i を射影とする。
Φ を X の Cauchy フィルターとする。
各 i ∈ I で p_i(Φ) は X_i の Cauchy フィルターの
基底である。
X_i は完備だから p_i(Φ) は X_i の点 x_i に収束する。
x = (x_i) とすれば >>431 より Φ は x に収束する。
従って X は完備である。
X_i が分離一様空間でないときは p_i(Ψ) の極限点は一意に決まらない
から、このような x = (x_i) の存在することは選択公理による。