>>469 の別証

p_i : X → X_i を射影写像とする。
V を X の任意の近縁とする。
X の一様構造の定義から I の有限集合 J と各 j ∈ J に対して
X_i の近縁 V_j が存在して g_j = (p_j)×(p_j) としたとき
∩{ (g_j)^(-1)(V_j) | j ∈ J } ⊂ V となる。
各 j ∈ J に対して X_j は全有界だから X_j は V_j 程度に
小さい集合(過去スレ006の235)からなる有限被覆 M_(j, k), k = 1, ..., n_j
を持つ。
N_(k_1, ..., k_m) = ∩{ p_j^(-1)(M_(j, k_t)) | j ∈ J, t = 1, ..., m }
とおく。ここで m は J の元の個数である。
N_(k_1, ..., k_m) の全体は X の被覆である。
N_(k_1, ..., k_m) は V 程度に小さいから X は全有界である。
証明終