命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の位相線形空間とする。
X を集合、F(X, E) を X から E への写像全体とする。
Σ を X の部分集合の集合とする。
Σ' を Σ から生成された擬有界族(>>44)とする。

F(X, E) の Σ-収束の位相(過去スレ007の150)と
Σ'-収束の位相は一致する。

証明
F(X, E) を F と略す。
X の部分集合 M と E の 0 の近傍 V に対して
W(M, V) = {(f, g) ∈ F×F | 任意の x ∈ M に対して f(x) - g(x) ∈ V}
とおく。

M が Σ の元を動き、V が 0 の近傍を動いたとき W(M, V) の有限個の
共通部分全体が Σ-収束の一様構造の基本近縁系となる
(過去スレ007の155)。

N ⊂ M のとき W(M, V) ⊂ W(N, V)
W(M, V) ∩ W(N, V) = W(M ∪ N, V)
よって、F(X, E) 上の Σ-収束の一様構造と Σ'-収束の一様構造は
一致する。
証明終