命題
X を一様空間(過去スレ006の194)とする。
>>444 より、分離一様空間 Y と一様連続な写像 ψ : X → Y で
次の性質を満たすものが存在する。

Z を分離一様空間として f : X → Z を一様連続写像とすると、
一様連続写像 g : Y → Z で f = gψ となるものが一意に存在する。

Y_0 を分離一様空間で一様連続な写像 ψ_0 : X → Y_0 が同様な性質を
持つとする。

一様空間の同型 φ : Y → Y_0 で ψ_0 = φψ となるものがある。

証明
一様連続写像 φ : Y → Y_0 で ψ_0 = φψ となるものが一意に存在する。
同様に、一様連続写像 h : Y_0 → Y で ψ = hψ_0 となるものが
一意に存在する。
ψ = hψ_0 と ψ_0 = φψ より ψ = hφψ である。
hφ の一意性から hφ = 1 である。
同様に ψ_0 = φhψ_0 と φh の一意性から φh = 1 である。
即ち φ は同型である。
証明終