命題
X を一様空間(過去スレ006の194)とする。
X × X の部分集合 R を
R = { (x, y) ∈ X × X | (x, y) は X の任意の近縁に属す }
で定義する。

>>438 より R は同値関係である。
Y を X の R による商集合 X/R とする。
f : X → Y を標準射とする。

V が X の近縁全体を動くとき (f×f)(V) の全体は Y の一様構造
である。

証明
Δ~ = {(x, x) ; x ∈ Y } を Y×Y の対角線集合とする。
過去スレ006の194より以下の (1)〜(5) を示せばよい。

(1) V~ ∈ Φ なら Δ~ ⊂ V~
(2) V~ ∈ Φ を含む Y×Y の部分集合は Φ に属す。
(3) V~ ∈ Φ, W~ ∈ Φ のとき V~ ∩ W~ ∈ Φ
(4) V~ ∈ Φ のとき (V~)^(-1) ∈ Φ
(5) V~ ∈ Φ のとき W~W~ ⊂ V~ となる W~ ∈ Φ がある。

(1), (2), (4) は自明なので (3) と (5) のみ示す。

(続く)