命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の位相線形空間とする。

E の部分集合 A が有界であるためには 0 の任意の近傍 V に対して、
A ⊂ λV となる λ ∈ K が存在することが必要十分である。

証明
条件が十分であることを示せばよい。

V を 0 の任意の近傍とする。
>>11 より 0 の近傍 W で平衡的であり、W ⊂ V となるものがある。
A ⊂ λW となる λ ∈ K が存在するとする。
λ = 0 なら A = 0 となり A は有界である。
よって、λ ≠ 0 とする。
|μ| ≧ |λ| なら |λ/μ| ≦ 1 である。
W は平衡的だから (λ/μ)W ⊂ W である。
よって、λW ⊂ μW である。
よって、A ⊂ μW ⊂ μV である。
即ち、A は有界である。
証明終