定理(Banach の開写像定理)
K を必ずしも可換とは限らない体とする。
| | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。
E と F をそれぞれ K 上の完備な位相線形空間で距離付け可能(>>185)とする。
f : E → F を連続な線形写像で全射とする。

このとき f は開写像である。

証明(Functional Analysis by K. Yosida)
d と d' をそれぞれ E と F の距離でそれぞれの一様構造を与えるものとする。
>>187 より d, d' は不変距離で
|x| = d(x, 0) と |y|' = d'(y, 0) は >>187 の (1) 〜 (4) を
満たすとしてよい。

任意の実数 r ＞ 0 と、 a ∈ E, b ∈ F に対して
B(a, r) = { x ∈ E | |x - a| ≦ r }
B'(b, r) = { y ∈ F | |y - b|' ≦ r }
とおく。

>>191 より、任意の実数 ε ＞ 0 に対して実数 η ＞ 0 があり
B'(0, η) ⊂ f(B(0, ε)) となることを示せばよい。

ε_i = ε/2^i (i = 1, 2, ...) とおく。

f(E) = F であり Baire の定理(>>178) より F は Baire 空間である。
従って >>177 の (2) より f(E) は第２類である。

(続く)