命題
E を実数体 R 上の位相線形空間とする。
A を E の空でない開凸集合とする。
B を E の空でない凸集合で A ∩ B = φ とする。

このとき A と B を分離する閉超平面(>>151) H が存在する。

証明
C = A - B は空でない開集合である。
>>158 より C は凸である。
A ∩ B = φ だから C は 0 を含まない。
よって >>149 より E 上の連続な線形形式 f ≠ 0 で
C において f(x) ＞ 0 となるものがある。
よって x ∈ A, y ∈ B のとき f(x) ＞ f(y) となる。

α = inf { f(x) | x ∈ A} とおく。
各 x ∈ A において f(x) ≧ α
各 y ∈ B において f(x) ≦ α
よって超平面 H = { x ∈ E | f(x) = α } は A と B を分離する。
証明終