代数的整数論 009
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0001Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/11/20(火) 21:01:45Kummer ◆g2BU0D6YN2 が代数的整数論を語るスレです。
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過去スレ
#001
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#005
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#006
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#007
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#008
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1189335756/
0153Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/01/19(土) 17:39:59後の参照のために書き直す。
0154Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/01/19(土) 17:40:36E を実数体 R 上のアフィン空間(>>121)とする。
f : E → R を定数でないアフィン写像(>>132)とする。
H = { x ∈ E | f(x) = 0 } を f で定まる超平面(>>130)とする。
A を E の部分集合とする。
A が H で定まる半空間 { x ∈ E | f(x) ≧ 0 } または
{ x ∈ E | f(x) ≦ 0 } に含まれるとき A は H で定まる半空間
に含まれるという。
A が H で定まる半空間 { x ∈ E | f(x) ＞ 0 } または
{ x ∈ E | f(x) ＜ 0 } に含まれるとき A は H で定まる半空間
に真に含まれるという。
0155Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/01/19(土) 18:04:34K を可換とは限らない位相体とする。
E を K 上の位相線形空間とする。
H を E の超平面(>>130)でとする。
H が E において稠密でなければ H は閉である。
証明
H は 0 を含むとしてよい。
H の閉包 H~ は E の線形部分空間である。
H ⊂ H~ ⊂ E であり E/H の次元は１だから H = H~ または
E = H~ である。
H は稠密でないから H = H~ である。
証明終
0156Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/01/19(土) 18:12:59E を実数体 R 上の位相線形空間とする。
A を E の部分集合でその内部 int(A) は空でないとする。
A は超平面 H で定まる半空間に含まれる(>>154)とする。
このとき H は閉であり int(A) は H で定まる半空間に真に含まれる
(>>154)。
証明
H は 0 を含むとしてよい。
H は方程式 f(x) = 0 で定まるとする。
ここで f は恒等的に 0 でない線形形式である。
A の各点 x で f(x) ≧ 0 と仮定する。
B = { x ∈ E | f(x) ＞ -1 } とおくと A ⊂ B であるから
int(B) は空でない。
従って B + 1 = { x ∈ E | f(x) ＞ 0 } の内部は空でない。
よって H は E において稠密でない。
>>155 より H は閉である。
f = gφ とかける。
ここで φ : E → E/H は標準写像であり、g : E/H → K は
線形写像である。
H は閉だから E/H は分離的である。
よって過去スレ006の648より g は位相同型である。
φ は開写像だから f も開写像である。
よって f(int(A)) は R の開集合である。
A の各点 x で f(x) ≧ 0 であるから f(int(A)) ⊂ (0, +∞) である。
よって int(A) は H で定まる半空間に真に含まれる。
証明終
0157Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/01/20(日) 13:37:05(E_i), i ∈ I を実数体 R 上の線形空間の族とする。
各 i ∈ I に対して A_i を E_i の空でない凸集合とする。
A = ΠA_i は E = ΠE_i の凸集合である。
証明
pr_i : E → E_i を射影とする。
A = ∩(pr_i)^(-1)(A_i) であり、
過去スレ008の429より各 (pr_i)^(-1)(A_i) は凸であるから
A も凸である。
証明終
0158Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/01/20(日) 13:45:07E を実数体 R 上の線形空間とする。
A と B をそれぞれ E の空でない凸集合とする。
任意の実数 α, β に対して
αA + βB = { αx + βy | x ∈ A, y ∈ B } は凸である。
証明
>>157 より A × B は E × E の凸集合である。
αA + βB は線形写像 (x, y) → αx + βy による
A × B の像であるから過去スレ008の428より凸である。
証明終
0159Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/01/20(日) 13:54:48E を実数体 R 上の位相線形空間とする。
A を E の空でない開凸集合とする。
B を E の空でない凸集合で A ∩ B = φ とする。
このとき A と B を分離する閉超平面(>>151) H が存在する。
証明
C = A - B は空でない開集合である。
>>158 より C は凸である。
A ∩ B = φ だから C は 0 を含まない。
よって >>149 より E 上の連続な線形形式 f ≠ 0 で
C において f(x) ＞ 0 となるものがある。
よって x ∈ A, y ∈ B のとき f(x) ＞ f(y) となる。
α = inf { f(x) | x ∈ A} とおく。
各 x ∈ A において f(x) ≧ α
各 y ∈ B において f(x) ≦ α
よって超平面 H = { x ∈ E | f(x) = α } は A と B を分離する。
証明終
0160Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/01/20(日) 13:56:05>よって超平面 H = { x ∈ E | f(x) = α } は A と B を分離する。
f は連続だから H は閉である。
0161Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/01/20(日) 14:00:54E を実数体 R 上の位相線形空間とする。
A を E の空でない開凸集合とする。
B を E の空でない開凸集合で A ∩ B = φ とする。
このとき A と B を強分離する閉超平面(>>151) H が存在する。
証明
>>159 より A と B を分離する閉超平面 H が存在する。
>>156 より H は A と B を強分離する。
証明終
0162Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/01/20(日) 14:47:01X を一様空間(過去スレ006の194)とする。
A を X の準コンパクト集合(過去スレ006の104)、
B を X の閉集合とし、 A ∩ B = φ とする。
このとき X の近縁(過去スレ006の194) V で V(A) ∩ V(B) = φ となる
ものが存在する。
ここで、記号 V(A) については過去スレ006の192を参照。
証明
X の任意の近縁 V に対して V(A) ∩ V(B) ≠ φ とする。
V が X の対称近縁(過去スレ006の202)のとき、
A ∩ V^2(B) ≠ φ となる。
よって V が X の対称近縁全体を動くとき A ∩ V^2(B) 全体は
A のフィルター基底(過去スレ006の77)となる。
過去スレ006の309よりこのフィルター基底は接触点 p ∈ A を持つ。
任意の対称近縁 V に対して V(p) ∩ V^2(B) ≠ φ であるから
B ∩ V^3(p) ≠ φ である。
B は閉だから p ∈ B となって矛盾である。
証明終
0163Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/01/20(日) 14:57:08E を実数体 R 上の局所凸位相線形空間とする。
A を E の空でない閉凸集合とする。
K を E の空でない準コンパクトな凸集合で A ∩ K = φ とする。
このとき A と K を強分離する閉超平面(>>151) H が存在する。
証明
>>162 より 0 の開凸近傍 V で (A + V) ∩ (K + V) = φ となる
ものが存在する。
A + V と K + V は開集合であり、>>158 より凸である。
よって >>161 より A + V と K + V を強分離する閉超平面 H が存在する。
H は A と K を強分離する。
証明終
0164Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/01/20(日) 16:14:41E を実数体 R 上の局所凸位相線形空間とする。
E の任意の空でない閉凸集合 A はそれを含む閉半空間(>>150)全体の
共通集合である。
証明
x ∈ E - A とする。x は準コンパクトだから >>163 より
A と x を強分離する閉超平面 H が存在する。
証明終
0165Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/01/20(日) 16:37:05E を実数体 R 上の局所凸位相線形空間とする。
E の任意の空でない閉アフィン部分空間(>>124) M はそれを含む
閉超平面全体の共通集合である。
証明
x ∈ E - M とする。
M は閉だから x を含む凸な開集合 V で V ∩ M = φ となるものが
存在する。
>>137 より M ⊂ H となる閉超平面 H で V と交わらないものが
存在する。このとき H は x を含まない。
証明終
0166Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/01/20(日) 19:39:51E を複素数体 C 上の線形空間とする。
H_0 を E の 0 を通る実超平面とする。
即ち H_0 は E を実線形空間とみたとき E の実線形部分空間であり、
E/H_0 の実線形空間としての次元が１となるものである。
H_0 の定義方程式を g(x) = 0 とする。
ここで g は E 上の実線形形式である。
>>102 より Re(f) = g となる複素線形形式 f が一意に存在する。
H = H_0 ∩ iH_0 は E の 0 を通る複素超平面であり、
その定義方程式は f(x) = 0 である。
証明
>>102 より、f(x) = g(x) - ig(ix) とおくと f は複素線形形式であり、
Re(f) = g である。
f(x) = 0 ⇔ g(x) = 0 かつ g(ix) = 0
である。
g(ix) = 0 は ix ∈ H_0 と同値であり、
これは x ∈ iH_0 と同値である。
よって H = H_0 ∩ iH_0 の定義方程式は f(x) = 0 である。
証明終
0167Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/01/20(日) 20:33:57後の参照のために実位相線形空間の場合も含める。
0168Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/01/20(日) 20:49:35K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の位相線形空間とする。
A を E の空でない開凸集合とする。
M を E の空でないアフィン部分空間(>>124)で A と交わらないとする。
このとき M ⊂ H となる閉超平面(>>130)で A と交わらないものが
存在する。
証明
K が実数体の場合は >>137 で証明されている。
よって K は複素数体と仮定する。
0 ∈ M と仮定してよい。
>>137 より M ⊂ H_0 かつ A ∩ H_0 = φ となる実超平面で閉なものが
存在する。
>>166 より H = H_0 ∩ iH_0 は E の 0 を通る複素超平面である。
H_0 が閉だから iH_0 も閉である。
従って H も閉である。
M = iM だから M ⊂ H である。
A ∩ H_0 = φ だから A ∩ H = φ である。
証明終
0169１３２人目の素数さん
2008/01/25(金) 21:01:540170Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/01/26(土) 06:42:33K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の局所凸位相線形空間とする。
E の任意の空でない閉アフィン部分空間(>>124) M はそれを含む
閉超平面全体の共通集合である。
証明
K が実数体の場合は >>165 で証明されている。
よって K は複素数体と仮定してよい。
x ∈ E - M とする。
M は閉だから x を含む凸な開集合 V で V ∩ M = φ となるものが
存在する。
>>168 より M ⊂ H となる閉超平面 H で V と交わらないものが
存在する。このとき H は x を含まない。
証明終
0171１３２人目の素数さん
2008/01/26(土) 09:55:450172Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/01/26(土) 11:08:14これから Banach 空間に関する基本的な定理である開写像定理、
閉グラフ定理、Banach-Steinhaus の定理などが得られる。
0173Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/01/26(土) 11:19:17位相空間 X の部分集合 A はその閉包 A~ が内点を持たないとき
疎(nowhere dense)であると言う。
0174Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/01/26(土) 11:23:57位相空間の部分集合は高々可算個の疎集合(>>173)の合併となるとき
第１類(the first category)の集合またはやせた(meager)集合と言う。
0175Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/01/26(土) 11:27:37位相空間の部分集合は第１類(the first category)の集合(>>174)で
ないとき第２類(the second category)の集合と言う。
0176Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/01/26(土) 11:32:31位相空間 X において第１類(>>174)の集合 A の補集合 X - A が常に
X で稠密であるとき X を Baire 空間と言う。
0177Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/01/26(土) 13:32:39位相空間 X に関する以下の条件は同値である。
(1) X は Baire 空間(>>176)である。
(2) X の空でない開集合は第２類(>>175)の集合である。
(3) X において内点をもたない閉集合の可算個の合併は内点をもたない。
(4) X において稠密な開集合の可算個の共通部分は稠密である。
証明
(1) ⇒ (2)
U を X の空でない開集合とする。
X - U は U と交わらないから X において稠密ではない。
よって仮定から U は第１類ではない、即ち第２類である。
(2) ⇒ (1)
A を X の第１類の集合とする。
X - A が X において稠密ではないとする。
A は X の空でない開集合 U を含む。
U は第１類の集合の部分集合としてやはり第１類であるから仮定に反する。
(2) ⇒ (3)
内点をもたない閉集合の可算個の合併 A が空でない開集合 U を
含むとする。A は第１類だから U も第１類である。これは仮定に反する。
(3) ⇒ (2)
X の空でない開集合 U で第１類のものがあるとする。
U は内点をもたない閉集合の可算個の合併に含まれる。
これは仮定に反する。
(3) ⇔ (4)
これは明らかである。
証明終
0178Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/01/26(土) 16:19:34完備な距離空間 X はその位相に関して Baire 空間(>>176)である。
証明
X において >>177 の (4) が成り立つことを示せばよい。
即ち、X の稠密な開集合の列 (U_n), n ≧ 1 に対して
その共通部分 U = ∩U_n も稠密なことを示せば良い。
G を X の任意の空でない開集合とする。G ∩ U ≠ φ を示す。
空ない開集合の列 (G_n), n ≧ 1 を帰納法により、
G_1 = G
(G_(n+1))~ ⊂ G_n ∩ U_n
δ((G_(n+1))~) ≦ (1/2)δ((G_n)~) となるように定義する。
ここで、(G_n)~ は G_n の閉包であり、
δ((G_n)~) は (G_n)~ の直径である。
即ち、δ((G_n)~) = sup { d(x, y) | (x, y) ∈ (G_n)~×(G_n)~ }
X は一様空間であるから過去スレ006の212より正則である。
G_n が空でない開集合なら G_n ∩ U_n ≠ φ であるから
G_(n+1)~ ⊂ G_n ∩ U_n となるような空でない開集合 G_(n+1) が
存在する。このとき δ((G_(n+1))~) ≦ (1/2)δ((G_n)~) と出来る。
よって、上記のような列 (G_n) が存在する。
∩G_n ⊂ G ∩ U であり、∩G_n = ∩(G_n)~ であるから
∩(G_n)~ ≠ φ を示せばよい。
lim δ((G_n)~) = 0 だから ((G_n)~) は Cauchy フィルターの基底である。
X は完備だからこれは収束し、その極限点は ∩(G_n)~ に属す。
証明終
0179Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/01/26(土) 16:38:350180Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/01/26(土) 16:39:12局所コンパクト空間 X は Baire 空間(>>176)である。
証明
X において >>177 の (4) が成り立つことを示せばよい。
即ち、X の稠密な開集合の列 (U_n), n ≧ 1 に対して
その共通部分 U = ∩U_n も稠密なことを示せば良い。
G を X の任意の空でない開集合とする。G ∩ U ≠ φ を示す。
空ない開集合の列 (G_n), n ≧ 1 を帰納法により、
G_1 = G
(G_(n+1))~ ⊂ G_n ∩ U_n となるように定義する。
ここで、(G_n)~ は G_n の閉包である。
X は局所コンパクトであるから過去スレ006の406より正則である。
G_n が空でない開集合なら G_n ∩ U_n ≠ φ であるから
G_(n+1)~ ⊂ G_n ∩ U_n となるような空でない開集合 G_(n+1) が
存在する。
よって、上記のような列 (G_n) が存在する。
このとき (G_2)~ はコンパクトと仮定してよい。
すると、(G_n)~, n ≧ 2 はコンパクト空間 (G_2)~ における
空でない閉集合の単調減少列であるから ∩(G_n)~ ≠ φ である。
∩G_n ⊂ G ∩ U であり、∩G_n = ∩(G_n)~ であるから
G ∩ U ≠ φ である。
証明終
0181１３２人目の素数さん
2008/01/26(土) 17:08:130182Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/01/26(土) 18:45:58>δ((G_(n+1))~) ≦ (1/2)δ((G_n)~) となるように定義する。
δ((G_1)~) = ∞ かもしれないので、以下のように訂正する。
δ((G_2)~) ＜ ∞ とし、
n ≧ 2 のとき δ((G_(n+1))~) ≦ (1/2)δ((G_n)~) とする。
0184Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/01/26(土) 19:05:57>このとき (G_2)~ はコンパクトと仮定してよい。
X は局所コンパクトだから初めから (G_1)~ はコンパクトと
仮定してもよい。
0185Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/01/26(土) 22:06:44K を必ずしも可換とは限らない体とする。
| | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。
E を K 上の位相線形空間とする。
E の位相が距離付け可能(過去スレ007の96)のとき E を距離付け可能と言う。
0186Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/01/26(土) 22:09:50この定義は過去スレ008の537と同じであった。
0187Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/01/26(土) 23:47:32K を必ずしも可換とは限らない体とする。
| | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。
E を K 上の位相線形空間で距離付け可能(>>185)とする。
このとき E から R+ = { x ∈ R | x ≧ 0 } への連続写像 | | で
次の条件を満たすものが存在する。
(1) |x| = 0 と x = 0 は同値である。
(2) 任意の x ∈ E に対して、|-x| = |x|
(3) 任意の x, y ∈ E に対して、|x + y| ≦ |x| + |y|
(4) |λ| ≦ 1 なら |λx| ≦ |x|
d(x, y) = |x - y| は E 上の不変距離(過去スレ007の113)であり、
それが定める E の一様構造は E の位相線形空間としての一様構造と
一致する。
証明
E は 0 の可算基本近傍系 (V_n) を持つ。
各 n に対して 3(V_n) ⊂ V_n と仮定してよい。
さらに過去スレ006の635より各 V_n は平衡的と仮定してよい。
U_n = { (x, y) ∈ E×E ; y - x ∈ V_n } とおく。
(U_n) は一様構造の基本近縁系であり、各 n に対して
U_n は対称で、(U_n)^3 ⊂ U_n である。
過去スレ006の71 のようにして (U_n) から E の一様構造と両立する
距離 f を定義する。
過去スレ006の114より f は不変距離である。
(続く)
0188Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/01/26(土) 23:48:51過去スレ006の116より |x| = f(0, x) は (1), (2), (3) を満たす。
(x, y) ∈ U_n のとき y - x ∈ V_n であり、V_n は平衡的であるから
|λ| ≦ 1 なら λ(y - x) ∈ V_n、即ち (λx, λy) ∈ U_n である。
従って、過去スレ006の69 で定義した関数 g は、
g(λx, λy) ≦ g(x, y) を満たす。
よって、f も、f(λx, λy) ≦ f(x, y) を満たす。
よって、|λx| ≦ |x| となり (4) が成り立つ。
| | が連続なことは f(x, y) = |x - y| が E の一様構造を定義する
ことから明らかである。
証明終
0189Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/01/27(日) 10:13:42K を必ずしも可換とは限らない体とする。
| | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。
E を K 上の位相線形空間とする。
W を E における 0 の平衡的(過去スレ006の630)近傍とする。
λ を K の元で |λ| ＞ 1 とする。
このとき E = ∪{ (λ^n)W | n ≧ 0 } である。
証明
過去スレ006の629より W は吸収的(過去スレ006の628)である。
即ち、任意の x ∈ E に対して x ∈ μW となる μ ∈ K が存在する。
|μ| ＜ |λ|^n となる整数 n ≧ 0 がある。
W は平衡的であるから μW ⊂ (λ^n)W である。
よって、 x ∈ (λ^n)W である。
証明終
0190Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/01/27(日) 10:42:29K を必ずしも可換とは限らない体とする。
| | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。
E と F をそれぞれ K 上の位相線形空間で距離付け可能(>>185)とする。
f : E → F を連続な線形写像で f(E) は第２類(>>175)の集合とする。
E における 0 の任意の近傍 V に対して f(V)~ は F における 0 の近傍
である。ここで f(V)~ は f(V) の閉包を表す。
証明
過去スレ006の635より E における 0 の平衡的近傍 W で、
W + W ⊂ V となるものが存在する。
| | は自明でない絶対値だから K の元 λ で |λ| ＞ 1 となるものが
存在する。
>>189 より E = ∪(λ^n)W である。
x ∈ E, x → (λ^n)x は E の位相同型であるから (λ^n)W の閉包は
(λ^n)W~ である。
同様に、
y ∈ F, y → (λ^n)y は F の位相同型であるから (λ^n)f(W) の閉包は
(λ^n)f(W)~ である。
よって、f(E) ⊂ ∪f((λ^n)W~) ⊂ ∪(λ^n)f(W)~
f(E) は第２類だから、ある n ≧ 0 に対して (λ^n)f(W)~ は内点をもつ。
y ∈ F, y → (λ^n)y は F の位相同型であるから f(W)~ は内点 b をもつ。
U を F における 0 の開近傍で b + U ⊂ f(W)~ とする。
W は平衡的だから -W = W である。よって、-f(W) = f(W)
よって、-f(W)~ = f(W)~
よって -b - U ∈ f(W)~
0 = b + (-b) ∈ U - U ⊂ f(W)~ + f(W)~ ⊂ (f(W) + f(W))~ ⊂ f(V)~
U - U は 0 の近傍であるから f(V)~ は 0 の近傍である。
証明終
0191Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/01/27(日) 13:13:34E と F をそれぞれ位相アーベル群とする。
f : E → F を（必ずしも連続とは限らない）準同型写像とする。
f が開写像であるためには E における 0 の任意の近傍 V に対して
f(V) が F における 0 の近傍であることが必要十分である。
証明
必要性は明らかであるから十分なことを証明する。
U を E の開集合とする。
x ∈ U に対して x + V ⊂ U となる E における 0 の近傍 V がある。
仮定より f(V) は F における 0 の近傍である。
f(x) + f(V) = f(x + V) ⊂ f(U)
これは f(x) が f(U) の内点であることを意味する。
x は U の任意の点だから f(U) は開集合である。
証明終
0192Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/01/27(日) 13:47:46K を必ずしも可換とは限らない体とする。
| | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。
E と F をそれぞれ K 上の完備な位相線形空間で距離付け可能(>>185)とする。
f : E → F を連続な線形写像で全射とする。
このとき f は開写像である。
証明(Functional Analysis by K. Yosida)
d と d' をそれぞれ E と F の距離でそれぞれの一様構造を与えるものとする。
>>187 より d, d' は不変距離で
|x| = d(x, 0) と |y|' = d'(y, 0) は >>187 の (1) 〜 (4) を
満たすとしてよい。
任意の実数 r ＞ 0 と、 a ∈ E, b ∈ F に対して
B(a, r) = { x ∈ E | |x - a| ≦ r }
B'(b, r) = { y ∈ F | |y - b|' ≦ r }
とおく。
>>191 より、任意の実数 ε ＞ 0 に対して実数 η ＞ 0 があり
B'(0, η) ⊂ f(B(0, ε)) となることを示せばよい。
ε_i = ε/2^i (i = 1, 2, ...) とおく。
f(E) = F であり Baire の定理(>>178) より F は Baire 空間である。
従って >>177 の (2) より f(E) は第２類である。
(続く)
0193Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/01/27(日) 13:49:13>>190 より、
各 i に対して B'(0, η_i) ⊂ f(B(0, ε_i))~ となる η_i ＞ 0 がある。
明らかに i → ∞ のとき lim η_i = 0 となるように η_i を選べる。
y ∈ B'(0, η_1) とする。
y ∈ f(B(0, ε_1))~ だから
|y - f(x_1)|' ＜ η_2 となる x_1 ∈ B(0, ε_1) がある。
y - f(x_1) ∈ B'(0, η_2) だから
y - f(x_1) ∈ f(B(0, ε_2))~ である。
よって
|y - f(x_1) - f(x_2)|' ＜ η_3 となる x_2 ∈ B(0, ε_2) がある。
この操作を続けて、
x_i ∈ B(0, ε_i) (i = 1, 2, ..., n) があり、
|y - f(x_1 + ... + x_n)|' ＜ η_(n+1) となる。
|x_(m+1) + ... + x_n| ≦ |x_(m+1)| + ... + |x_n|
≦ ε_(m+1) + ... + ε_n ≦ (1/2^(m+1) + ... + 1/2^n)ε
≦ (1/2 + 1/2^2 + ...)ε = ε
よって s_n = x_1 + ... + x_n とおくとき (s_n) は E における
Cauchy 列である。
E は完備だから (s_n) は収束する。x = lim s_n とおく。
|x| = lim (|x_1 + ... + x_n|) ≦ lim (|x_1| + ... + |x_n|)
≦ lim (ε_1 + ... ε_n) = (1/2 + 1/2^2 + ...)ε = ε
よって x ∈ B(0, ε)
(続く)
0194Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/01/27(日) 13:49:59一方、
|y - f(x_1 + ... + x_n)|' ＜ η_(n+1) であり、
i → ∞ のとき lim η_i = 0 であるから
y = lim f(x_1 + ... + x_n) である。
f は連続だから lim f(x_1 + ... + x_n) = f(lim s_n) = f(x)
よって y = f(x) である。
即ち、B'(0, η_1) ⊂ B(0, ε)
証明終
0195Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/01/27(日) 13:51:34>>193
>≦ lim (ε_1 + ... ε_n) = (1/2 + 1/2^2 + ...)ε = ε
≦ lim (ε_1 + ... ε_n) ≦ (1/2 + 1/2^2 + ...)ε = ε
0197Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/01/27(日) 19:32:33G を距離付け可能(過去スレ007の112)な位相アーベル群とする。
H を G の閉部分群とする。
G/H は位相アーベル群として距離付け可能である。
証明
p: G → G/H を標準射とする。
G は位相空間として距離付け可能だから単位元 0 の可算基本近傍系 (V_n)
を持つ。
(p(V_n)) は G/H の単位元の基本近傍系である。
過去スレ007の110より G/H は距離付け可能である。
証明終
0198Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/01/27(日) 20:26:06G を距離付け可能(過去スレ007の112)な位相アーベル群とする。
H を G の閉部分群とする。
G が完備なら G/H も完備である。
証明
p: G → G/H を標準射とする。
G は位相空間として距離付け可能だから単位元 0 の可算基本近傍系
(V_n), n ≧ 1 を持つ。
V_(n+1) + V_(n+1) ⊂ V_n となっていると仮定してよい。
(p(V_n)) は G/H の単位元の基本近傍系である。
過去スレ006の325より、G/H の任意の Cauchy 点列(過去スレ006の237)
(ξ_n) が収束することを示せばよい。
これには過去スレ006の248より(ξ_n) のある部分列が収束することを
示せば十分である。
従って、任意の n ≧ 1 に対して p ≧ n, q ≧ n のとき常に
ξ_q - ξ_p ∈ p(V_n) となると仮定してよい
（もしそうでない場合は (ξ_n) の適当な部分点列を考えればよい）。
ξ_(n+1) - ξ_n ∈ p(V_n) だから
ξ_(n+1) = p(y)
ξ_n = p(x)
のとき
y - x ∈ V_n + H
y - x = v + h と書ける。ここで v ∈ V_n, h ∈ H
y - h = x + v ∈ x + V_n
p(y - h) = ξ_(n+1) である。
よって y - h を y で置き換えて y ∈ x + V_n と仮定してよい。
よって帰納法により ξ_n = p(x_n), x_(n+1) ∈ x_n + V_n となるように
G の元の列 (x_n) を選べる。
(続く)
0199Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/01/27(日) 20:27:06n ≧ 1, p ≧ 1 に対して、
x_(n+1) ∈ x_n + V_n
x_(n+2) ∈ x_(n+1) + V_(n+1) ⊂ x_n + V_n + V_(n+1)
.
.
.
x_(n+p) ∈ x_(n+p-1) + V_(n+p-1) ⊂ x_n + V_n + ... + V_(n+p-1)
ここで、V_(n+1) + V_(n+1) ⊂ V_n と仮定しているから、
x_n + V_n ⊂ x_n + V_(n-1)
x_n + V_n + V_(n+1) ⊂ x_n + V_(n-1)
x_n + V_n + V_(n+1) + V_(n+2) ⊂ x_n + V_n + V_n ⊂ x_n + V_(n-1)
同様にして（帰納法により）
x_n + V_n + ... + V_(n+p-1) ⊂ x_n + V_(n-1)
よって
x_(n+p) ∈ x_n + V_(n-1)
よって (x_n) は G における Cauchy 列である。
G は完備だから G の点 a に収束する。
標準射 p: G → G/H は連続だから (p(x_n)) は p(a) に収束する。
証明終
0200Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/01/27(日) 20:46:35位相群 G から位相群 G' への連続準同型 f が次の条件を満たすとき
f を G から G' への強射(strict morphism)と言う。
G の開集合の f による像は f(G) の開集合である。
0201Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/01/27(日) 20:58:53K を必ずしも可換とは限らない体とする。
| | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。
E と F をそれぞれ K 上の完備な位相線形空間で距離付け可能(>>185)とする。
f : E → F を連続な線形写像とする。
f が強射(>>200)であるためには f(E) が F の閉集合であることが
必要十分である。
証明
f が強射であるとする。
f は E/f^(-1)(0) と f(E) の位相同型を引き起こす。
>>198 より E/f^(-1)(0) は完備である。
よって f(E) も完備であり、f(E) は F の閉集合である。
逆に、f(E) が F の閉集合であるとする。
f(E) は完備である。
Banach の開写像定理(>>192)より f は強射である。
証明終
0202Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/01/27(日) 21:05:55K を必ずしも可換とは限らない体とする。
| | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。
E と F をそれぞれ K 上の完備な位相線形空間で距離付け可能(>>185)とする。
f : E → F を連続な線形写像で全単射とする。
このとき、f は位相同型である。
証明
Banach の開写像定理(>>192)より明らかである。
0203Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/01/27(日) 21:17:36K を必ずしも可換とは限らない体とする。
| | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。
E を K 上の完備な位相線形空間で距離付け可能(>>185)とする。
M と N を E の線形部分空間で E において閉とする。
E が M と N の代数的直和であれば位相直和(過去スレ006の642)でもある。
証明
M と N は完備な位相線形空間で距離付け可能である。
M × N は距離付け可能な位相線形空間である。
過去スレ006の255より M × N は完備である。
M × N から E への写像 (x, y) → x + y は連続な線形写像で
全単射である。
>>202 より これは位相同型である。
証明終
0204Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/01/27(日) 21:33:40f と g を位相空間 X から Hausdorff 位相空間 Y への連続写像とする。
T = { x ∈ X | f(x) = g(x) } は X の閉集合である。
証明
X から Y×Y への写像 h を h(x) = (f(x), g(x)) により定義する。
h は連続である。
Δ = { (y, y) | y ∈ Y } とおく。
T = h^(-1)(Δ) である。
Y は Hausdorff だから過去スレ006の84より Δ は Y×Y の閉集合である。
よって T も閉集合である。
証明終
0205Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/01/27(日) 21:37:51f を位相空間 X から Hausdorff 位相空間 Y への連続写像とする。
f のグラフ G = { (x, f(x)) ∈ X × Y | x ∈ X } は
X × Y の閉集合である。
証明
X × Y から Y への写像 (x, y) → x と (x, y) → f(x) は
どちらも連続である。
>>204 より G は X × Y の閉集合である。
証明終
0206Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/01/27(日) 21:52:41K を必ずしも可換とは限らない体とする。
| | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。
E と F をそれぞれ K 上の完備な位相線形空間で距離付け可能(>>185)とする。
f : E → F を線形写像とする。
f が連続であるためには f のグラフ G = { (x, f(x)) ∈ E × F | x ∈ E }
が E × F の閉集合であることが必要十分である。
証明
f が連続なら >>205 より G は E × F の閉集合である。
逆に、G は E × F の閉集合であるとする。
過去スレ006の255より E × F は完備である。
よって G も完備である。
g : G → E を g(x, f(x)) = x により定義する。
g は連続な全単射である。
>>202 より g は位相同型である。
h : E → G を h(x) = (x, f(x)) により定義する。
h は g の逆写像であるから連続である。
p : E × F → F を射影とすれば、f = ph である。
よって f も連続である。
証明終
0207Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/01/27(日) 22:05:18K を必ずしも可換とは限らない体とする。
| | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。
E と F をそれぞれ K 上の完備な位相線形空間で距離付け可能(>>185)とする。
f : E → F を線形写像とする。
(x_n) を E の点列で lim x_n = 0 で lim f(x_n) = y が存在するような
ものとする。
このとき y = 0 が常に成り立てば f は連続である。
証明
>>206 より f のグラフ G = { (x, f(x)) ∈ E × F | x ∈ E }
が E × F の閉集合であることを示せばよい。
G の点列 ((x_n, f(x_n))) が (a, b) ∈ E × F に収束するとする。
lim x_n = a, lim f(x_n) = b である。
よって lim (x_n - a) = 0 であり、
lim f(x_n - a) = lim (f(x_n) - f(a)) = b - f(a) である。
よって命題の仮定より b = f(a) である。
よって (a, b) ∈ G である。
よって G はE × F の閉集合である。
証明終
0208Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/02/02(土) 08:45:46閉グラフ定理(>>206)が適用できるためには、その空間が完備で
距離付け可能であること、即ち Frechet 空間(>>2)であることが必要である。
これが位相線形空間論において Frechet 空間が重要であることの理由である。
Bourbaki の位相線形空間の巻の歴史覚え書には Banach の閉グラフ定理は
Banach-Steinhaus の定理(後述)と並んで関数解析における第一級の道具で
あると書かれている。
0209１３２人目の素数さん
2008/02/02(土) 13:50:59Kummer さん、お久しぶりです。
（って言っても、匿名掲示板では、誰だかわからないか（>_<））
岩波の数学辞典によると、開写像定理と閉グラフ定理は、
かなりの一般化が進んでいるようですね。
閉グラフ定理の方は、L.Schwarts による一般化に、
「ボレルグラフの定理」
というものがあったと思います。
statement は、
f:E → F が線型写像で、E は、バナッハ空間のある族の帰納的極限、
F はススリン空間、（ E、F は両方とも局所凸 Hausdorff 位相線型空間とする ）
とするとき、f のグラフが E × F のボレル集合であれば、
f は連続である
・・というものでした。
(文献：トレーブ著「位相ベクトル空間・超関数・核 下」)
以上、僭越ながら、コメントさせてもらいました m(_ _)m
0210Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/02/02(土) 15:08:50有難うございます。
その定理は Bourbaki にもありますね。
それが Schwarts によるものとは知りませんでした。
0211Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/02/02(土) 15:15:48>>205
>X × Y から Y への写像 (x, y) → x と (x, y) → f(x) は
>どちらも連続である。
X × Y から Y への写像 (x, y) → y と (x, y) → f(x) は
どちらも連続である。
0212Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/02/02(土) 15:22:15>>208
>閉グラフ定理(>>206)が適用できるためには、その空間が完備で
>距離付け可能であること、即ち Frechet 空間(>>2)であることが必要である。
>閉グラフ定理(>>206)が適用できるためには、その空間が完備で
>距離付け可能であること、即ち Frechet 空間(>>2)であることが十分である。
0213１３２人目の素数さん
2008/02/02(土) 17:00:51このスレはあなた以外に書かないし、誰も興味がないので
「sage」で書いてもらえませんか？
時々上がって来て、目障りなんです。
sageで書いても、あなたには実害はないはずですので
よろしくお願いいたします。
0214Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/02/02(土) 17:02:440215１３２人目の素数さん
2008/02/02(土) 17:05:00読むつもりが全くないスレが上がって来るのは
邪魔なんです。これって普通のことですよ。
0217Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/02/02(土) 17:22:16>読むつもりが全くないスレが上がって来るのは
>邪魔なんです。
なんで邪魔なのかよく分からないんだが。
無視すりゃいいだけなんじゃないの？
0218１３２人目の素数さん
2008/02/02(土) 17:23:56２ちゃんの数学板で一回に閲覧出来るスレッドは限られています。
自分の覚書に使うなら、何も２ちゃんでやる必要なんてないでしょう。
サゲでお願いします。
0219１３２人目の素数さん
2008/02/02(土) 17:30:39スレ主さんの書き込みです。このようなスレは
sageで行うのがネチケットというものです。
0220Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/02/02(土) 17:31:12>２ちゃんの数学板で一回に閲覧出来るスレッドは限られています。
一回に閲覧出来るってどういう意味？
それとアゲサゲがどう関係するかも分からない。
もっと分かりやすく説明してください。
0221209
2008/02/02(土) 17:31:50>２ちゃんの数学板で一回に閲覧出来るスレッドは限られています。
age か sage かは置いておいて、
落ちてないスレは全て表示できるはずなんだが、やり方わかっているか？
700個くらいのスレが表示されるはずだぞ。
0222209
2008/02/02(土) 17:36:19http://science6.2ch.net/math/index.html
↓この表示だと、７００くらい表示される
http://science6.2ch.net/math/subback.html
0223222
2008/02/02(土) 17:40:12下のほうの、「スレッド一覧」をクリックすると、全部表示されるはず。
0224１３２人目の素数さん
2008/02/02(土) 20:41:17これで１０レスくらいが見られるスレは
そんなに多くないでしょ
ともかく迷惑ですよ ９８％もスレ主しか書いていないスレは
サゲ進行でも問題ないでしょ？ kingのスレとか
無意味なスレが上がって来るばかりで、迷惑するのと
少し意味は違いますが、個人の都合でやっているスレは
サゲでお願いします。
0225Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/02/02(土) 20:45:40単にあんたの個人的感情から出てる意見なら説得力ゼロ。
0226１３２人目の素数さん
2008/02/02(土) 20:48:300227あぼーん
NGNG0228あぼーん
NGNG0229あぼーん
NGNG0230あぼーん
NGNG0231１３２人目の素数さん
2008/02/02(土) 20:53:342πK^2r^2＋2πK^2rh
この式をK^2をくくりだして
＝K^2(2πr^2＋2πrh)
にすることはできますか？
0232１３２人目の素数さん
2008/02/02(土) 20:54:07線形代数 全国トップレベル
微分積分 国内上位のほう
位相 一番得意
常微分方程式 知識皆無
ルベーグ積分 知識皆無
リーマン幾何 まだ知識はそれほど多くはないが、実力は十分
複素関数論 人並み程度。
代数学 上位
位相幾何 基本的なことしかわからない。
俺何やればいいんですかね？
0233１３２人目の素数さん
2008/02/02(土) 20:54:42「三次の積分公式に関する問題を作り、解け」
「定積分で表された関数に関する問題を作り、解け」
「ルジャンドルの多項式に関する問題を作り、解け」
「最小二乗法に関する問題を作り、解け」
「絶対値の入った定積分に関する問題を作り、解け」
「存在領域の面積に関する問題を作り、解け」
「ｎ倍角の公式に関する問題を作り、解け」
0234１３２人目の素数さん
2008/02/02(土) 20:55:24＞理論面での貢献は大きかったのではなかろうか
まともな論文すらない奴が、貢献できるわけないやろ。
コネか何かの温情で教授になれただけ。
＞コンピュータ・ソフトウェアの発展における
＞理論面での貢献は大きかったのではなかろうか
まともな論文すらない奴が、貢献できるわけないやろ。
コネか何かの温情で教授になれただけ。
＞コンピュータ・ソフトウェアの発展における
＞理論面での貢献は大きかったのではなかろうか
まともな論文すらない奴が、貢献できるわけないやろ。
コネか何かの温情で教授になれただけ。
0235あぼーん
NGNG0236あぼーん
NGNG0237あぼーん
NGNG0238あぼーん
NGNG0239あぼーん
NGNG0240あぼーん
NGNG0241あぼーん
NGNG0242１３２人目の素数さん
2008/02/02(土) 21:12:42おまえ、sageで書けよ
0243Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/02/02(土) 21:16:180244あぼーん
NGNG0245あぼーん
NGNG0246Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/02/02(土) 21:21:320247１３２人目の素数さん
2008/02/02(土) 22:41:220248１３２人目の素数さん
2008/02/02(土) 22:44:19普通に考えりゃただの釣りだ罠ｗ
いや、質のきわめて低い劣悪な釣りかｗ
0249１３２人目の素数さん
2008/02/03(日) 03:19:29ちなみに、このスレが上がるのは確かに目障りだ。
0250１３２人目の素数さん
2008/02/03(日) 03:24:290251１３２人目の素数さん
2008/02/03(日) 04:04:45つV2C
0252Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/02/03(日) 08:57:57一様収束の関係を詳細に調べる必要がある。
これには同程度連続な関数族という概念が重要である。
Bourbaki の位相の巻の１０章（関数空間）の歴史覚え書によると、
Weierstrass と Riemann の影響の下で一様収束とそれに関連した諸問題の
組織的見当が１９世紀後期にドイツとイタリアで行われた。
このとき Ascoli は同程度連続という概念を導入し、連続関数の族で
相対コンパクトとなるものを特徴付ける定理を得た。
この定理は後に複素解析関数論における Montel の正規族の理論で
普及された。正規族とは正則関数からなる相対コンパクト集合のことである。
これを使って有名な Riemann の写像定理が証明される。
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