Hahn-Banachの定理の幾何版を証明するため次の命題を用意する。

命題
E を実数体 R 上の線形空間とする。
A を E の開凸集合で 0 を含むものとする。

任意の x ∈ E に対して
p(x) = inf { α ＞ 0 | x ∈ αA } とおく。

p は劣線形関数(>>94)であり
A = { x ∈ E | p(x) ＜ 1 } である。

証明
A は 0 の近傍であるから過去スレ006の629より吸収的である。
よって、過去スレ008の473より p は劣線形関数である。

W = { x ∈ E | p(x) ＜ 1 } とおく。

p(x) ＜ 1 なら 0 ＜ α ＜ 1 で、x ∈ αA となる α がある。
A は凸で 0 を含むから αA ⊂ A である。
よって、W ⊂ A である。

A は開集合だから x ∈ A なら β ＞ 1 で βx ∈ A となるものが
存在する。
x ∈ (1/β)A だから p(x) ≦ 1/β ＜ 1 である。
よって A ⊂ W である。
証明終