命題
K を可換とは限らない体とする。
| | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。
E と F を K 上の左位相線形空間とし E の位相は半ノルムの集合 Γ で
定義され(過去スレ008の469) F の位相は半ノルムの集合 Γ' で
定義されるとする。

f : E → F を線形写像とする。
f が連続であるためには
任意の q ∈ Γ' に対して Γ の元の有限列 p_i, i = 1, ... , n と
実数 α ＞ 0 が存在し任意の x ∈ E に対して

q(f(x)) ≦ αsup{ p_i(x) | i = 1, ... , n}

となることが必要十分である。

証明
条件の十分性：
任意の γ ＞ 0 に対して p_i(x) ＜ γ/α, i = 1, ... , n
であれば、q(f(x)) ＜ γ であるから f は 0 で連続である。
従って、
a ∈ E と任意の γ ＞ 0 に対して p_i(x - a) ＜ γ/α, i = 1, ... , n
であれば、q(f(x) - f(a)) = q(f(x - a)) ＜ γ であるから
f は a で連続である。

(続く)