命題
K を必ずしも可換とは限らない体とする。
| | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。
E を K 上の位相線形空間とする。
E の 0 の閉近傍で平衡的なもの全体は 0 の基本近傍系となる。

証明
V を 0 の任意の近傍とする。
N = ∩μV とおく。ここで μ は |μ| ≧ 1 となる全ての μ ∈ K を
動く。
過去スレ006の631より N は V に含まれる最大の平衡的集合である。
即ち V の平衡核(過去スレ006の632)である。

(λ、x) ∈ K×E に λx ∈ E を対応させる写像は連続であるから
実数 α ＞ 0 と E の 0 の近傍 W が存在して |λ| ＜ α なら
λW ⊂ V となる。
| | は自明でない絶対値だから 0 ＜ |μ| ＜ α となる μ ∈ K が
ある。
|λ| ≦ 1 のとき |λμ| ≦ |μ| ＜ α だから
λμW ⊂ V である。
よって μW ⊂ N である。
μW は 0 の近傍だから N も 0 の近傍である。
V が閉なら N も閉である。
E は一様空間であるから過去スレ006の207より 0 の閉近傍全体は
基本近傍系である。
よって本命題の主張が得られる。
証明終