お騒がせしました。解けました。

それぞれの宇宙線は、「A,B,Cのどれかに命中」もしくは「命中しない」の４種類に分けられる。
第k番目にA,B,Cに命中した際機械が停止する可能性があるのでそれぞれの和を求める。
P(k)をk番目の宇宙線で機械が停止する確率とすると、

P(k) =
0.1"{ 0.7^(k-1) + 0.6^(k-1) - 0.4^(k-1) }　　　　　（Aで停止する場合）
+
0.2"{ 0.7^(k-1) - 0.4^(k-1) }　　　　　　　　　　　　（Bで停止する場合）
+
0.3"{ 0.6^(k-1) - 0.4^(k-1) }　　　　　　　　　　　　（Cで停止する場合）
=
0.3"0.7^(k-1) + 0.4"0.6(k-1) - 0.6"0.4^(k-1)

よってその期待値は
ΣkP(k) = 0.3 * Σk*0.7^(k-1) + 0.4 * Σk*0.6^(k-1) - 0.6 * Σk*0.4^(k-1)
= 0.3*Σ(α^k)' + 0.4*Σ(β^k)' - 0.6*Σ(γ^k)'　　　（α=0.7, β=0.6, γ=0.4）
= 0.3*(Σα^k)' + 0.4*(Σβ^k)' - 0.6*(Σγ^k)'
= 0.3*{α/(1-α)}' + 0.4*{β/(1-β)} - 0.6*{γ/(1-γ)}
= 0.3 * 1/{(1-α)^2} + 0.4 * 1/{(1-β)^2} - 0.6 * 1/{(1-γ)^2}
= 1/0.3 + 1/0.4 - 1/0.6
= 25/6

・・・あれ、命中しない時も数に入れちゃってる・・・ま、いいか。
ありがとうございました。ホントにお騒がせしました。