>>349
そうですね、fのrangeがS^1上での定値関数とすると、単射ではないですね。
すいません。
あと、ハウスドルフ空間については自分が今見ている教科書の最後の方に
出ているので、そこにたどり着いたときにもう一度考えてみます。
(今は上記の内容がちんぷんかんぷんなので、、、)

>>351
exp(i x) (0≦x<2π)のことですよね。
僕は、S^1をxy平面での半径1の円で考えていたのですが、
それではダメですか？
x→(sin(x),cos(x))　　x∈[0,2π)
とかですが、、、

の実直線から原点中心の半径1の円への写像です。