[薀蓄お断り]代数的整数論入門[初心者専門]
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0001Layman
2007/11/14(水) 20:47:37載っていない数体の整数環について初歩から学びたい。
念のため：数体=Qの有限次拡大体
整数環=体の要素でモニックな多項式の零点となるもの
(後で当然定義する。)
0002Layman
2007/11/14(水) 20:59:06Q：有理数
Z：有理整数
N :自然数(0は入れないでおく）
定義：代数的数
αが代数的数である、とはαがQ係数の多項式の零点であること即ち、
或る a_1, ... , a_n ∈ Qに対し
α^n + a_1 * α^(n_1) + ... + a_(n-1) * α + a_n = 0
となる事を言う。
定義：代数的整数
βが代数的整数である、とはβがZ係数の多項式の零点であること即ち、
或る b_1, ... , b_n ∈ Zに対し
β^n + b_1 * β^(n_1) + ... + b_(n-1) * β + b_n = 0
となる事を言う。
定義から 代数的整数は代数的数であることが分かる。
0003Layman
2007/11/14(水) 21:01:55βがZ係数の多項式の零点であること ⇒ βがZ係数のモニックな多項式の零点であること
多項式がモニックであるとは、最高次の係数が1である事を言う。
0004１３２人目の素数さん
2007/11/14(水) 21:40:36あと代数学に関してはどのくらいまでを前提知識としますでしょうか。
（群・環・体の基本的なこと等）
0005Layman
2007/11/14(水) 22:02:36>Fermatの最終定理に興味があるのですが、ここで良いですか。
構いませんが、但し…
Wilesの方針には触れる心算ですが、彼の論文を解説する能力は私にはありませんので悪しからず。
>代数学に関してはどのくらいまでを前提知識としますでしょうか。
>（群・環・体の基本的なこと等）
「群・環・体の基本的なこと」といっても人によりその定義が異なるので、出来るだけ前提は少なくします。
勿論総てを解説する事は出来ませんが、最低限参考文献は指示する心算です。
0006１３２人目の素数さん
2007/11/14(水) 22:56:46ありがとうございます。
>彼の論文を解説する能力は私にはありませんので悪しからず。
私の知識ではとても理解できるとは思いませんが、Wilesのたどった道筋のわずかでも垣間見ることが
できればそれで満足です。
0007Layman
2007/11/14(水) 23:53:06代数的数(代数的整数)は、Q(Z)上の多項式の零点であるから何れもC(複素数体)に属する。
記号：
Aで代数的数の全体を表わす。
Bで代数的整数の全体を表わす。
勿論 C⊇A、C⊇B である。
また、 A⊇B⊇Z、 A⊇Q である事に注意する。
0008Layman
2007/11/14(水) 23:57:26> Wilesのたどった道筋のわずかでも垣間見ることができればそれで満足です。
概要を(理解して)此処で解説する事を目標にします。
0009１３２人目の素数さん
2007/11/15(木) 00:00:43今からブール代数の講義をする。
0010１３２人目の素数さん
2007/11/15(木) 00:01:280011１３２人目の素数さん
2007/11/15(木) 00:22:57＞代数的数(代数的整数)は、Q(Z)上の多項式の零点であるから何れもC(複素数体)に属する。
ちょっとまて。Cに属するとは限らんぞ。そう約束するならよいが。
記号も慣用のものを使った方がよいと思うけど。
0012１３２人目の素数さん
2007/11/15(木) 06:53:320013１３２人目の素数さん
2007/11/15(木) 10:12:51とりあえず、代数的数の全体が体を成すことの証明をつけてみなよ。
0014Layman
2007/11/15(木) 13:15:25> Cに属するとは限らんぞ。そう約束するならよいが。
「薀蓄お断り」と書いたのは、そういう事を言い出すと際限がなくなってなかなか本題に戻れないからなんだが…
今後、C(の中)で考える事にする。
>記号も慣用のものを使った方がよいと思うけど。
AとかBは仮にそういう記号を使用したが、何れにせよ本項では直接それらを分析する事はない（そこまで到達しない）ので、忘れて構わない。
脱線ついでに書くと、代数的な事項(=群、環、加群、体の一般論）については
Dummit-Foote Abstract Algebra
http://www.amazon.com/Abstract-Algebra-David-S-Dummit/dp/0471433349
や
Fraleigh A First Course in Abstract Algebra
http://www.amazon.com/First-Course-Abstract-Algebra-Seventh/dp/0201763907/
が、初心者向きに丁寧に書いてあるので必要なら参照して欲しい。
日本語のテキストについてはLaymanは不詳。
0015１３２人目の素数さん
2007/11/15(木) 13:21:33> ありゃりゃ、初日は代数的整数の定義だけで終了かいな。
> とりあえず、代数的数の全体が体を成すことの証明をつけてみなよ。
まあ、そう慌てなさんなって。
「初心者専門」でゆっくり進めるんだから。
まだるっこしいのが嫌なら
Lang Algebraic Number Theory
にチャレンジしてみなはれ。
凄い詰込み本だよ。
0016１３２人目の素数さん
2007/11/15(木) 13:38:13まあ、いいや。好きにしな。
0017Layman
2007/11/15(木) 13:46:12証明 α ∈ Aであるから、定義によりf(α) = 0 となるモニックな f ∈ Q[X] が存在する。
mをfの係数全部の「分母」の積とすると、g = m*f ∈ Z[X]である。
h(X) = m^(n-1)*g(X/m) はモニックでｈ（m*α） = m^(n-1)*g(α) = 0 となるから
β = m*α ∈ Bとなり α = β / m が分かる。□
0018Layman
2007/11/15(木) 17:55:03そのような多項式で次数最小のものが「一意に」決まることを次に示す。
命題： α ∈ A とする。このとき、f(α) = 0 となるモニックな f ∈ Q[X] には次数最小のものが一つ存在する。
g ∈ Q[X]がg (α) = 0 を満足するならば f | gである。
証明 以下、deg は多項式の次数を表わすものとする。
まずdeg(h) < deg(f) となるような 0 でない多項式 h ∈ Q[X] に対しては h(α) ≠ 0 であることに注意する。
実際、そうでないとすると a を h の最高次の係数とするとき h_1 = （1/a) * h はモニックで、
deg(h_1) < deg(f) かつ h_1(α) = 0 となるが、これは f の定義に反する。
次に ｆ が一意に決まることを示す。
実際 f_1 ∈ Q[X] が deg(f) = deg(f_1) かつ f(α) = 0 を満足すると仮定すると、
g = f – f_1 は、g(α) = 0 かつ deg(g) < deg(f) となるから 前の議論から g = 0でなければならない。
これで、最初のステートメントは示されたので g ∈ Q[X] がg (α) = 0 を満足するならf | g を示そう。
多項式に関する除算のアルゴリズム(此れは既知だと思うが、そうでないならDummit-Foote或いはFraleighを見て欲しい）
によると、g = q * f + r、0 < deg(r) < deg(f) または r = 0、となるような q、r ∈ Q[X] が存在する。
r(α) = g(α) - q(α) * f(α) = 0 であるから r = 0、即ち g = q * f となり f | gが従う。□
この多項式 f を α の最小多項式、その次数を α の次数と呼ぶ。
0019１３２人目の素数さん
2007/11/16(金) 00:24:570020１３２人目の素数さん
2007/11/16(金) 15:55:18> この繁雑にして要を得ない証明の書き方
そう思うのなら、「簡素にして要を得た」証明に書き直してみな。
0021Layman
2007/11/16(金) 17:10:55代数的数 algebraic number
代数的整数 algebraic integer
最小多項式 minimal polynomial
モニック monic
と言う。
-------------------------------------------------------
上で定義した最小多項式が、常に既約である事を示そう。
命題： f をα ∈ A の最小多項式とすると f は Q 上既約である。
証明 f が既約でないと仮定すると、f より次数の低いモニックな多項式 g、h ∈ Q[X] で、
f = g * h となるものが存在する。
これから 0 = f(α) = g(α) * h(α) が従うから g(α) = 0 または h(α) = 0 となるが、
これは、deg(g)、deg(h) < deg(f) に反する。□
f をα ∈ Aの最小多項式とする。
もし f ∈ Z[X] なら (代数的整数の定義から） α ∈ B となる。
実は逆に α ∈ B の最小多項式は Z[X] に属する。
此れを示すために、「Gaussの補題」と呼ばれる命題をまず証明しよう。
0022Layman
2007/11/16(金) 17:16:100でない多項式 f ∈ Z[X] は、その係数の最大公約数が1のとき
「原始的」(英語では”primitive”)である、という。
言換えると、f は その総ての係数を割切るような素数が存在しない時、
原始的である。
命題 (Gauss's lemma) f 、g ∈ Z[X] が原始的なら f * g も原始的である。
証明 f 、g ∈ Z[X] に対し、f * g が原始的でないと仮定する。
定義より、f * g の総ての係数を割切る素数pが存在する。
環 Z/pZ[X] で考えると、 f * g の剰余類は0となる。
然るに、 Z/pZは体であるからZ/pZ[X] は整域である。
（理由が分からないならDummit-Foote或いはFraleighを見て欲しい）。
従って、f の剰余類或いは g の剰余類の少なくとも何れか一方は
Z/pZ[X] で0となる。
言換えると f ∈ pZ[X] またはg ∈ pZ[X] となるが、
これは f または g の少なくとも何れか一方が原始的でないことを示す。□
0023１３２人目の素数さん
2007/11/16(金) 18:10:120024１３２人目の素数さん
2007/11/16(金) 21:03:27>>23
に恥の概念を教えてやった方がいいんじゃないか？
0025１３２人目の素数さん
2007/11/16(金) 23:10:390026１３２人目の素数さん
2007/11/17(土) 10:55:04やれやれ、「環 Z/pZ[X] で考えると」の意味も分からんのか？
こういうゆとり世代を相手にするのは大変だよ。
Laymanの努力は無駄なような気がするな。
4=6=8さん、どう思う？
0027ジャッジ
2007/11/17(土) 11:04:32恥ずかしいのおまえ。
>>23 の言いかたは人としてどうかと思うし、>>24 はその意味では
理解できなくもないけど、>>26 みたいに馬鹿なことを言ってはいかん。
まともな受け答えになってない。
もしセミナーだったら半殺し。
0028Layman
2007/11/17(土) 11:33:42私は、文字通り「初心者」で（ローマ教皇ではないから）
自己の無謬性を主張する心算はないので、もし間違いを指摘するなら
「何処が」
「如何」間違っており
「如何」訂正すべきか
書いて欲しいのです。
宜しくお願いしまする。
0029１３２人目の素数さん
2007/11/17(土) 11:37:49の言うとおり、23（=25?）や26はエモーショナルだね。
売り言葉に買い言葉じゃ、荒むだけだよ。
0030１３２人目の素数さん
2007/11/17(土) 15:26:01念頭に置いて書いてるんですかね。
Z[X]から(Z/pZ)[X]に移す場合は普通mod pでのreductionという。
0031１３２人目の素数さん
2007/11/17(土) 15:30:44普通、両者は暗黙のうちに同一視する。
0032１３２人目の素数さん
2007/11/17(土) 15:54:41他のどうでもいいことはご丁寧に書いておいて、
そこだけは暗黙のうちってｗ
そもそも22はそんな同一視なんて必要ないし。
0033１３２人目の素数さん
2007/11/17(土) 16:21:23これが当たり前でない人は代数的整数論はまだ早い。
0034１３２人目の素数さん
2007/11/17(土) 17:10:590035１３２人目の素数さん
2007/11/17(土) 17:54:38クマー乙。
初心者を騙って新しい蘊蓄スレを展開するんでつね！
0036ジャッジ
2007/11/19(月) 08:59:52例えあたりまえだと思っていても >>25 のような質問が出たら >>30 みたいに
スパっと答えないといけないんだね。それができない、あるいは何が指摘されてる
かわからないのは最低と言っても過言ではなかろう。
答えられないということは、そのことに無自覚だったわけだから。
念のために繰り返し書いておくと、当り前だから説明を略した、というのは許されるけど、
質問があれば、その当り前のことをさっさと簡明に説明できなければならない。
できない以上は批判されてもしかたがない。
それがセミナーでの半殺しの意味合い。
0037LOL
2007/11/19(月) 16:15:20要するに、こういう話は行程表がないと何処に行くのか分からず、
面白くないから重箱この隅をつついたりが始まるんだな。
こんな感じでどうかね？
目標： FLT（Fermatの最終定理）の証明方法の概要を知る事
構成
1 動機付け
２ 代数的数と代数的整数
３ 数体の具体例としての2次体と円分体
４ 数環における既約元への分解
５ ideals(日本語だと「イデアル」？）
６ 格子とMinkowskiの定理
７ Minkowskiの定理と代数的数
８ Class groupsとclass numbers
９ 具体的計算
１０ KummerのFLTへのアプローチ
１１ Kummer以後：モジュラー形式と楕円曲線
１２ 楕円曲線とディオファントス方程式
１３ 楕円関数とFLTの証明
LOLは文字通り素人だから、１１以降は講釈師（他人の受売り）である事を、予め断っておく。
0038１３２人目の素数さん
2007/11/19(月) 17:34:15この板ではトンデモに分類される。肝に銘じておかれるとよかろう。
それと、名無しに戻って自分を擁護するようなみえみえの自演もみっともないのでやめた方がよい。
0039１３２人目の素数さん
2007/11/19(月) 20:18:290040１３２人目の素数さん
2007/11/19(月) 22:09:19> 面白くないから重箱この隅をつついたりが始まるんだな。
いや、君が言ってることとやってることが全然違うから文句を言われてる
だけのようだが。
> LOLは文字通り素人だから、１１以降は講釈師（他人の受売り）である事を、
> 予め断っておく。
他の部分には独自性があると？
0041１３２人目の素数さん
2007/11/20(火) 01:42:230042１３２人目の素数さん
2007/11/20(火) 02:15:000043１３２人目の素数さん
2007/11/20(火) 02:23:21だから自己顕示欲がまたまた刺激されちゃって・・・
0044１３２人目の素数さん
2007/11/20(火) 14:16:470045LOL
2007/11/20(火) 20:23:27自然数n > 2 に対し a^n + b^n = c^n となるような 0でない整数の組 a, b, c）は存在しない。
は、Fermat本人がラテン語で次のように書いた手紙の内容に端を発する。
Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos,
et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis
fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi.
Hanc marginis exiguitas non caperet.
訳： 3乗(訳注：単数）を今度は2個の3乗に、或いは4乗(訳注：単数）を2個の4乗に、
そして一般に2乗を超えるもの(訳注：単数）を2個のそれに分割する事は不可能であり、
私はその事実の真に驚くべき証明を発見した。 この狭い余白はそれを収納しない。
「この狭い余白はそれを収納しない」というのは「余白に書こうにも狭すぎて書けない」と言う意味らしい。
変な言葉使いに思えるが、フランス人Fermatにとってラテン語で書くのは、
江戸時代の日本人が漢文で書くような物だったと想像されるから、止むを得ないだろう。
0046１３２人目の素数さん
2007/11/21(水) 00:34:48Fermatはn=4のときの証明は持っていたが、一般のnについて本当に証明を持っていたかということに関しては
否定的な見方が大勢を占める。その理由は
0047１３２人目の素数さん
2007/11/21(水) 00:54:500048１３２人目の素数さん
2007/11/21(水) 00:58:340049１３２人目の素数さん
2007/11/21(水) 01:03:06そのラテン語は自分で訳したのですか？
0050１３２人目の素数さん
2007/11/21(水) 08:18:190051１３２人目の素数さん
2007/11/21(水) 20:10:270052１３２人目の素数さん
2007/11/23(金) 17:37:320053１３２人目の素数さん
2007/11/23(金) 17:53:530054１３２人目の素数さん
2007/11/24(土) 12:21:30>>1 はよっぽど打たれ弱いのか根性なしか。
いずれにしても >>1 には大した数学はできないだろうな。
0055１３２人目の素数さん
2007/11/25(日) 11:43:07クマーは、いま、代数的整数論スレで、局所凸空間と格闘中。
0056１３２人目の素数さん
2007/11/26(月) 17:01:52まあこのスレ的にはちょうどいいんじゃないかと。
0057１３２人目の素数さん
2007/11/27(火) 15:19:350058１３２人目の素数さん
2007/11/27(火) 23:44:54レス見てわかんないの？
0059１３２人目の素数さん
2007/11/28(水) 02:55:230060１３２人目の素数さん
2007/11/28(水) 09:51:200061晒しアゲ
2007/12/02(日) 20:28:280062１３２人目の素数さん
2008/01/06(日) 16:37:06■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています