いつもありがとうございます。
さっそく質問です。

x1,x2,･･･,xnは、おのおの０、１、２のどれかの値をとる。
f1=納i=1→n] xi
f2=納i=1→n] (xi)^2　のとき、
fk=納i=1→n] (xi)^k　（k=1,2,3,････）
をf1とf2を用いて表せ（1973年東大理系）

この問題を、ｎ個のうち、１の数をｐ個、２の数をｑ個、０の数をn-p-q個とし、
f1=p+2q
f2=1^2*p+2^2*q=p+4q
fk=1^k*p+2^k*q=p+(2^k)q

p+2q-f1=0
p+4q-f2=0
を解いて、

p=(-2f2+4f1)/(4-2)=-f2+2*f1
q=(-f1+f2)/(4-2)=(f2-f1)/2
をfkに代入し、
fk=-f2+2f1+(2^k)(f2-f1)/2={2-2^(k-1)}f1+{2^(k-1)-1}f2

としましたが、この式がすべてのｋで成立することを
数学的帰納法で示す必要はあるのでしょうか？