電卓で、007を７倍づつしていくと下３桁は、
007→049→343→401→807→649→543→801→607→249→
743→201→407→849→943→601→207→449→143→001→007
となって、20個で循環するので、

7^7=823543=20*41177+3
7^(20*41177+3)→7^3=343