>>938
一般にΣ[1≦i≦n]cos(2iπ/(2n+1))=-1/2　
複素数あるいはチェビシェフ（解と係数の関係）からできる。

>>492ってMASUDA氏の問題なんですか？今見たところないのですが。
もしそうなら、ぜひ解答を掲載していただきたい。

これカヴァリエリの原理でも使うのでしょうか。ずっと考えていますがわからない。
たぶん単純計算では出来ない問題なんでしょう。
答えはおそらく、最小値：面に平行に切ったときの正三角形、最大値：正四面体の二つの頂点とそれら２頂点を結ぶ辺の対辺の中点を結ぶ三角形

幾何的に攻める方法
切断面が四角形になる場合のみ
1 四面体の対辺の中点を通る平面はその体積を二等分する
2 正四面体をある平面に射影すると正方形(残り2辺は対角線)になる
3 1,2を合わせて正方形にその切断する平面を射影したとき正方形の面積が1/2になっている
→検討中：正四面体の場合、体積を二等分する平面はその正方形の面積を二等分するか？

4 カヴァリエリの原理を使う場合
http://www.ac-noumea.nc/maths/amc/polyhedr/tetra_.htm
正四面体の対辺に２点をとりその２点を軸にし、その軸に垂直な平面αに射影すると正四面体の切断平面は直線になるが、一方で正四面体は四角形になる。
→検討中：対辺に取った2点がα上では四角形の対角線の交点になる。その交点が通る直線で四角形の面積を二等分すれば、正四面体の体積は二等分されるのか？
たとえ二等分したところで対辺上の2点を動かすと、図形的な考察はほぼ破綻する。（正四面体の射影図形である四角形も変化するから）
注：対辺に取った2点が共に中点の場合、αに射影した正四面体は正方形になる。一般の四面体の場合は平行四辺形

5 計算
比をとってベクトル、メネラウスで計算したが面積を計算するのはほぼ不可能。
二等分する条件
正四面体上の4点が平面にある条件
面積
これらを合わせて大変なことになりました。