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右辺に
a[n] = Aα^n + Bβ^n + Cγ^n,
を代入する方法もあるな。まあ、漸化式を使うのと変わらんが。

　α,β,γ は特性方程式 t^3 -t^2 -2t+1 =0 の3根,
　A=1/{(α-1)(α-β)(α-γ)},　B=1/{(β-1)(β-α)(β-γ)},　C=1/{(γ-1)(γ-α)(γ-β)},

(解法)
　t^3 -t^2 -2t+1 = (T^3 -21T+7)/27 = k･{4(cosθ)^3 -3cosθ + 1/(2√7)} = k･{cos(3θ) + 1/(2√7)},
ここに　t=(T+1)/3, T=(2√7)cosθ, k=(14√7)/27,
　θ = (1/3){π-arccos(1/(2√7))} = 33.631131549710301868494175086623ﾟ
　α =-1.2469796037 1746706105 0009768008 5…
　β = 0.4450418679 1262880857 7805128993 5…
　γ = 1.8019377358 0483825247 2204639014 9…