★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十二問
レス数が1000を超えています。これ以上書き込みはできません。
0001１３２人目の素数さん
2007/11/04(日) 05:00:00解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以上の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ
0002１３２人目の素数さん
2007/11/04(日) 05:02:00★東大入試作問者になったつもりのスレ★
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1000592003/
★東大京大入試作問者になったつもりのスレ★
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1046165076/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第三問
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1069171672/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第4問
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1099493043/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第五問
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1116752400/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第六問
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★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第七問
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★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第八問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1166904000/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第九問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1182629190/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1188545067/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十一問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1190854032/
0003１３２人目の素数さん
2007/11/04(日) 08:26:130004１３２人目の素数さん
2007/11/04(日) 08:32:58バブルの形状は最小ポテンシャルエネルギーできまる。
0005１３２人目の素数さん
2007/11/04(日) 08:36:40平面にバブルを接触させるとＰＥは０になる。
0006１３２人目の素数さん
2007/11/04(日) 08:38:070007１３２人目の素数さん
2007/11/04(日) 10:10:33面積は最小になる。
0008MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/11/04(日) 10:57:05x^2+(pm+a)x+(pn+b)=0
を整数係数で因数分解できる整数m,nが存在するような(m,n)の組の個数をpを用いて表せ．
0009１３２人目の素数さん
2007/11/04(日) 11:27:390010にょにょ ◆yxpks8XH5Y
2007/11/04(日) 11:48:280011１３２人目の素数さん
2007/11/07(水) 17:19:430012１３２人目の素数さん
2007/11/07(水) 22:43:20--------------------------------------------
a,b,cは素数で、次の3条件を満たす。
c＾b＋1 は a で割り切れる
a＾c＋1 は b で割り切れる
b＾a＋1 は c で割り切れる
これを満たす(a,b,c) の組を全て求めよ。
--------------------------------------------
0013１３２人目の素数さん
2007/11/08(木) 00:02:26明らかに、a,b,cはどの二つをとっても異なる数である。
a,b,cの中で最小のものをaと置く。
明らかに、c^2b≡1 mod.a、c^b≡-1が成立し、c^(a-1)≡1 mod.aも成り立つ。
a,bの大小関係から、a-1はbを割り切らず、2bを割り切る事が分かる。
このため、a=2,3のいずれかが成立する。
a^c≡-1 mod.b、a^2c≡1 mod.b、a^(b-1)≡1 mod.bが成立する。
b,cは奇素数であるため、b-1とcは異なる数である。
また、a^x≡1 mod.bを満たす最小の自然数をmとおくこととする。
(1) b-1＜cの時
mは2cを割り切り、cを割り切らない。また、2cの約数は1,2,c,2cであることと、m≦b-1＜c＜2cであることから、m=2が成立する。
ゆえに
(1-1) a=2の時
2^2=4≡1 mod.b 2＜bから、b=3が成立する。また、ここからc=5も導かれる。
(1-2) a=3の時
3^2=9≡1 mod.b 3＜bから、これを満たすbは存在しない。
0014１３２人目の素数さん
2007/11/08(木) 00:02:58(2) c＜b-1＜2cの時
mは2cを割り切り、cを割り切らない。また、2cの約数は1,2,c,2cであることと、m≦b-1＜2cであることから、m=2が成立する。以下略
(3) c＜b-1=2cの時
b^a=(2c+1)^a≡1 mod.cであることから、条件式に矛盾する。従ってｒｙ
(4) 2c＜b-1の時
mは2cを割り切り、cを割り切らない。また、2cの約数は1,2,c,2cであることから、m=2または2cが成立する。
m=2の時は略。
m=2cの時は、b-1=2cnなる自然数nが存在する。このとき
b^a=(2cn+1)^a≡1 mod.cとなり、条件式に矛盾する。
以上より
a=2,b=3,c=5
0015１３２人目の素数さん
2007/11/08(木) 11:40:380016１３２人目の素数さん
2007/11/08(木) 13:17:17下記のように一方は大きい順に、もう一方は小さい順に並べるとする。
a_1 > a_2 > a_3 > ... > a_n
b_1 < b_2 < b_3 < ... < b_n
このときa_i(i=1,2...n)の選び方によらず
|a_1 - b_1| + |a_2 - b_2| + ... + |a_n - b_n| = n^2.
となることを証明せよ。
0017１３２人目の素数さん
2007/11/08(木) 16:25:05このとき条件の不等式より、b_1～b_kとa_k～a_nのk+1個の正整数はすべてn以下となることになり矛盾
同様にa_kとb_kがともにn+1以上となったとしても矛盾が生じるので
a_kとb_kは一方がn以下でもう一方がn+1以上。
したがって証明すべき式について
(左辺)=(n+1～2nの和)-(1～nの和)
となり、この値は確かにn^2になる。
0018１３２人目の素数さん
2007/11/10(土) 03:34:50,.-‐‐v-､
/;;;;;;;;;;;;;;;ﾊヽ
l;;;;;;;,_;;ﾉﾊ,.-lヽ
.l;;;;;(ヽ￣`ｰ,> nを自然数とする。p[1],p[2],…,p[n]を異なる素数とするとき、
ヾ;;l~ヽ -{ √p[1] + √p[2] + … + √p[n]が無理数であることを示せ。
/＼__,`,ｰ′
／ヽヽ /､,lヽ /
,／-､ ｀7ヽヽｷ｀ヽ、 /
l ヽ ヽ ヽl .l l | /
l ∨ ヽ ヽ l l /
0019１３２人目の素数さん
2007/11/10(土) 03:37:09/;;;;;;;;;;;;;;;ﾊヽ
l;;;;;;;,_;;ﾉﾊ,.-lヽ 自然数a,b,cはa^2-2b^2=c^2をみたしている。
.l;;;;;(ヽ￣`ｰ,> (a + b√2)(3 - 2√2)^n = X[n] + Y[n]√2
ヾ;;l~ヽ -{ としたとき X[n]≦3c , Y[n]≦2c を同時にみたす自然数nが存在することを示せ。
/＼__,`,ｰ′
／ヽヽ /､,lヽ /
,／-､ ｀7ヽヽｷ｀ヽ、 /
l ヽ ヽ ヽl .l l | /
l ∨ ヽ ヽ l l /
0020１３２人目の素数さん
2007/11/10(土) 03:41:30,.-‐‐v-､
/;;;;;;;;;;;;;;;ﾊヽ 自然数のうち，各位の数に少なくとも1が1つでも含まれているものを小さいものから並べた数列を{a[n]}とする．
l;;;;;;;,_;;ﾉﾊ,.-lヽ (1) mを正の整数とする．a[n]=10^(m-1)を満たすnをmで表せ．
.l;;;;;(ヽ￣`ｰ,> (2) S[n],T[n]を以下のように定める．
ヾ;;l~ヽ -{ S[n]=a[1]+a[2]+…+a[n]
/＼__,`,ｰ′ T[n]=1+2+3+…+a[n]
／ヽヽ /､,lヽ / n→∞のときのS[n]/T[n]の極限値を求めよ．
,／-､ ｀7ヽヽｷ｀ヽ、 /
l ヽ ヽ ヽl .l l | /
l ∨ ヽ ヽ l l /
0021１３２人目の素数さん
2007/11/10(土) 03:50:24/;;;;;;;;;;;;;;;ﾊヽ
l;;;;;;;,_;;ﾉﾊ,.-lヽ nを正の整数とし、k=1,2,…,n において数列{a[n]}、{b[n]} を
.l;;;;;(ヽ￣`ｰ,> a[k]=1/<n,k> 、b[k]=2^(k-n)
ヾ;;l~ヽ -{ で定める。ただし、<n,k>は二項係数を表す。このとき、
/＼__,`,ｰ′
／ヽヽ /､,lヽ / Σ[k=1,n](a[k]-b[k])/k
,／-､ ｀7ヽヽｷ｀ヽ、 /
l ヽ ヽ ヽl .l l | / の値を求めよ。
l ∨ ヽ ヽ l l /
0022１３２人目の素数さん
2007/11/10(土) 19:31:14項数nについての帰納法による。
n=1 のとき
√p[1] を根とする、Z上既約な整多項式は x^2 -p[1],
2次だから無理数。
n=2 のとき
√p[1] + √p[2] を根とする、Z上既約な整多項式は x^4 -2(p[1]+p[2])x^2 +(p[1]-p[2])^2,
4次だから無理数。
n>2 のとき
√p[1] + √p[2] + ･･･ + √p[n-1] = a とおく。
aを根とする、Z上既約な整多項式をf(x)とする。係数の最大公約数は1とする。
帰納法の仮定より、f(x)は2次以上。
f(x+y)f(x-y) は x,yの整多項式で かつ yの偶函数だから、F(x,y^2) と書ける。
g(x) = F(x, p[n]) は a+√p[n] を根とする4次以上の整多項式。
従って、p[k]が互いに素であることを用いて g(x)がZ上既約であることを示せばよい。
0023１３２人目の素数さん
2007/11/10(土) 21:17:12与式と共軛な式は
(a-b√2)(3+2√2)^n = X[n] -Y[n]√2,
辺々掛けると
a^2 -2b^2 = X[n]^2 -2Y[n]^2,
c^2 = X[n]^2 - 2Y[n]^2,
点(X[n], Y[n]) は双曲線H: x^2 -2y^2 =c^2 上にある。
漸化式
X[n+1] = 3X[n] -4Y[n],
Y[n+1] = -2X[n] +3Y[n],
H上の各点を、線分(0,0)－(X[n],Y[n]) の勾配Mで区別しよう。（parametrize）
M[n] = Y[n] / X[n],
M[n+1] = (-2+3M[n])/(3-4M[n]) = f(M[n]),
また、点(X[n],Y[n]) は上記の双曲線上にあるから、|M| < 1/√2,
f(t) = (-2+3t)/(3-4t),
|t| < 1/√2 ⇒ f(t) = t - 2(1-2t^2)/(3-4t) < t,
∴ M[n] はnについて単調減少。
M[n0+1] ≦ 0 ≦ M[n0] をみたす n0 がある筈。
f(t) ≦ 0 ≦ t ⇒ -2/3 ≦ f(t) ≦ 0 ≦ t ≦ 2/3,
なので、-2/3 ≦ M[n0+1] ≦ 0 ≦ M[n0] ≦ 2/3,
、-2/3 ≦ Y[n0+1]/X[n0+1] ≦ 0 ≦ Y[n0]/X[n0] ≦ 2/3,
一方、(X[n],Y[n])は双曲線上にあるから
X[n]^2 -2Y[n]^2 = c^2,
これらより n0, n0+1 について求める式が成立つ。
（ |Y[n]| ≦ 2c ぢゃね？）
0024１３２人目の素数さん
2007/11/11(日) 00:53:49http://proxy.f2.ymdb.yahoofs.jp/bc/4636c28a_ca1/bc/%c9%d4%c5%f9%bc%b0%a5%b9%a5%ec2.html?bcekdNHBD3ABatf_#R494
より，0
0025１３２人目の素数さん
2007/11/11(日) 01:20:03原点Oと点Pを両方とも内部に含む、直径の長さが3であるような球の存在しうる範囲をＡとしたとき
Ａの体積を求めよ。
0026１３２人目の素数さん
2007/11/11(日) 01:23:210027１３２人目の素数さん
2007/11/11(日) 04:19:24A[n] = Σ[k=1,n] 1/{k･C[n,k]}, B[n] = Σ[k=1,n] 1/{k･2^(n-k)} とおく。
A[1] - B[1] = 1 -1 = 0,
2A[n] - A[n-1] = (2/n) + Σ[k=1,n-1] {2/C[n,k] - 1/C[n-1,k]}/k
= (2/n) + (1/n)Σ[k=1,n-1] {1/C[n-1,k-1] - 1/C[n-1,k]}
= (2/n) + (1/n){1/C[n-1,0] - 1/C[n-1,n-1]}
= 2/n,
2B[n] - B[n-1] = 2/n,
初期値と漸化式が一致する。よって
A[n] - B[n] =0,
0028１３２人目の素数さん
2007/11/11(日) 04:29:12見えないのはスルー
0029１３２人目の素数さん
2007/11/11(日) 05:19:58本問はOPのまわりに軸対称なので、OPをx'軸 とし、x'軸からの距離をρとする。
球の中心Cの存在領域は OC≦3 かつ CP≦3 の点Cで、
0≦x'≦3/2, ρ ≦ √{9 -(3-x')^2},
3/2≦x'≦3, ρ ≦ √(9 -x'^2),
したがって、Ａの境界面は
-3≦x'≦0, ρ(x') = √{36 -(3-x')^2},
0≦x'≦3, ρ(x') = (3/2)√3 + √{9 -(x'-3/2)^2},
3≦x'≦6, ρ(x') = √{36 -(3+x')^2},
よって
V(A) = π∫[-3,6] ρ(x')^2 dx'
= 45π + {65.25 + (9/2)(√3)π}π + 45π
= {155.25 + (9/2)(√3)π}π
= 179.736291･･･π,
0030１３２人目の素数さん
2007/11/11(日) 05:50:503≦x'≦6, ρ(x') = √(36 -x'^2),
003123
2007/11/11(日) 06:51:13M[n] はnについて単調減少であるが、もう少し詳しく見ると,
また f(t) = 1/{4(3-4t)} -3/4 は下に凸ゆえ
M[n+1]/M[n] = f(M[n])/M[n] < f(M[0])/M[0] = f(b/a)/(b/a) = r,
b/a < 1/√2 より r < 1,
M[n+1] ≦ M[0]*r^n,
∴ M[n] は（遅くとも）指数函数的に0に近づく。
∴ M[n0] < 2/3, M[n0+1] ≦0 を満たす n0 が存在する。
003224
2007/11/11(日) 13:44:35すまん。
>>21の問題は，
http://briefcase.yahoo.co.jp/bc/loveinequality/
の「不等式スレ2.html」の>>58の【問題D】(7)で既出の問題で，
解答はそのスレの494に挙がっていると言いたかったんだ。
元はハンガリー数学コンテストの問題のようです。
0033１３２人目の素数さん
2007/11/11(日) 19:19:42等比数列
L[n] = (X[n]+Y[n]√2)/(X[n]-Y[n]√2) = L[0]{(3-2√2)/(3+2√2)}^n,
使えば簡単ぢゃね?
公比 (3-2√2)/(3+2√2), 初項 L[0] = (a+b√2)/(a-b√2) >1 だお.
0034Zenw(トリップ忘れたー)
2007/11/11(日) 22:06:54とします。このときいかなるa,tをとっても limit[n,∞](S[n])=1/2 とは成りえないということを示して下さいな。
0035１３２人目の素数さん
2007/11/12(月) 03:31:19a･exp(it) = r (a≧0) とおく。
0≦a<1 のとき |r|<1,
Σ[k=0,n] r^k = [1-r^(n+1)]/(1-r) → 1/(1-r) より S[n] → Re{1/(1-r)} (n→∞)
ところで Re{1/(1-r)} -1/2 = {1/(1-r) + 1/(1-r~) -1}/2 = (1-|r|^2)/(2|1-r|^2),
Re{1/(1-r)} = 1/2 ⇔ |r|=1, r≠1 より 不適。
a=1 のとき
t＝2mπ のとき S[n] = n+1 で発散。
t≠2mπ のとき S[n] = {sin((n+1/2)t) - sin(-t/2)}/{2sin(t/2)}, により振動。
a> 1 のとき S[n]の各項はtの値の如何によらず発散するので、S[n]も発散。
0036MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/11/12(月) 22:27:430037１３２人目の素数さん
2007/11/12(月) 23:35:27球の中心をOとし、Oを通り線分OA,OBの両方と垂直である直線(の一つ)をｌとする。
ｌと球面の交点二つをQ,Rとしたとき、線分AQ,AR,BQ,BRの長さは全て√2であり
線分QRは球の直径で長さは2となる。
(a)CがQまたはRと一致する場合
一致しないほうの点をPとすれば、AP*BP*CP=4となり題意を満たす。
(b)CがQともRとも一致しない場合
三角形CQRは線分QRを斜辺とする直角三角形なので、CQ^2+CR^2=QR^2=4
よってCQ^2とCR^2の少なくとも一方は2以上になるので、
Q,Rの内、Cとの距離の二乗が2以上になる方の点をPとすれば
CP≧√2よりAP*BP*CP≧2√2となり題意を満たす。
以上から条件を満たす点PをS上から取れることが示された。
0038１３２人目の素数さん
2007/11/13(火) 16:08:560039１３２人目の素数さん
2007/11/13(火) 21:41:310040１３２人目の素数さん
2007/11/13(火) 22:35:04(n^p-n)/p
が自然数となることを示せ。
0041１３２人目の素数さん
2007/11/13(火) 22:51:23フェルマーの小定理を証明して終了
そんな問題が東大ででるわけないだろ
0042１３２人目の素数さん
2007/11/13(火) 23:18:44俺は二項展開と帰納法で解いた。
でもそっちが普通だな。
スレ汚しスマソ。。
0043１３２人目の素数さん
2007/11/16(金) 23:44:46Σ[n=1,∞) Σ[k=1,∞) (1/2)^(kn) = 納j=1,∞) #(Div_j) * (1/2)^j,
ここに Div_j = {i∈N; i|j} ････ jの約数全体の集合。
とりあえず小数点以下1300桁まで･･･ (n≧4320)
納j=1,n] #(Div_j) * (1/2)^j =
1.6066951524 1529176378 3301523190 9245804805 7967150575 6435778079 5536914184 2074348669 0565711801 6701555758
9704542906 3154413100 0905473205 0088619136 3162159598 9057099678 0731760334 6256346194 4121692714 7114387587
7005193100 8956417580 9164849488 0166136371 5771752977 8403281088 9796524656 7784762221 2339864747 1544551530
1807174540 3371224954 1188738074 1750277266 1691995085 5065362156 9266825419 8671854867 7094187723 2912300105
4754429354 9570799498 2855449593 7721328133 7880503447 1937248821 1788014451 2910386486 1412790295 7644018473
4626025794 6556679421 1866869210 3208760055 3859969659 4226232037 8135463745 9768663965 1836864973 5187266977
8689793827 7043447647 5719866503 4980184709 9711403207 2724203387 6544745083 6560451452 4850766198 8607647520
1723280505 7468943598 0233105785 9906645521 0311859824 2705010154 8067354670 5382305016 9058073602 1366065471
3624379559 3656218199 6499910622 9274370686 2401518286 4421747541 1749422319 3218244976 4238732222 6326994856
5866107727 8107675247 2383656368 9670654851 5143593606 6265493806 5480371471 9302294253 0536720456 8041283791
4863140938 7888919313 8579925461 1986244990 5318227203 9452532438 0805640846 7219399728 9902924487 2319144891
3588548279 0323024440 6785717022 1106725811 6469278702 6402061686 5214966881 5435415472 4698404504 3978572491
2018729197 1228065579 8250658840 6885877838 4655293838 8939978391 7703884034 9801837007 8873502484 8662923954
････
0044１３２人目の素数さん
2007/11/19(月) 22:20:52だからそんな問題出すなと何度言えば…… 後(ry
0045１３２人目の素数さん
2007/11/20(火) 09:30:00一度も言ってないだろｗ
0046MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/11/20(火) 15:28:56ＣとＤの第１象限における交点をPとし，PにおけるＣとＤの接線をそれぞれlとmとする．lとmのなす鋭角の最大値をθとするとき，tanθの値を求めよ．
0047１３２人目の素数さん
2007/11/20(火) 18:43:2424/7
0048MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/11/20(火) 20:56:480049１３２人目の素数さん
2007/11/20(火) 22:04:130050MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/11/20(火) 22:07:190051１３２人目の素数さん
2007/11/20(火) 22:14:16大人気商品の５個カバンがあります。
カバンの名前はそれぞれＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ。
カバンの人気順はＡ＞Ｂ＞Ｃ＞Ｄ＞Ｅ
それを求めて５０人が並んでいます。
購入方法は、抽選方式。
１番～５０番と書いてあるクジを、並んだ先着順にＢＯＸから順々に引いていきます。
１番のクジを引き当てた人は、１番目にカバンを購入できます。
２番のクジを引き当てた人は、２番目にカバンを購入できます・・・
６番以降のクジを引いてもカバンは買えませんが、当然優先的に他の商品を買うことができます。
このような条件の中・・・・
① １人で並んで５番目までのクジを引ける確率は？
② ２人で並んで、その内１人が５番目までのクジを引き当てる確率は？
③ ２人で並んで、２人とも５番目までのクジを引き当てる確率は？
④ ３人で並んで、その内１人が５番目までのクジを引き当てる確率は？
⑤ ３人で並んで、その内２人が５番目までのクジを引き当てる確率は？
⑥ ３人で並んで、３人とも５番目までのクジを引き当てる確率は？
⑦ ４人で並んで、その内１人が５番目までのクジを引き当てる確率は？
⑧ ４人で並んで、その内２人が５番目までのクジを引き当てる確率は？
⑨ ４人で並んで、その内３人が５番目までのクジを引き当てる確率は？
⑩ ４人で並んで、４人とも５番目までのクジを引き当てる確率は？
長いですが、どなたか教えて下さいm(_ _)m
0052１３２人目の素数さん
2007/11/20(火) 22:33:28スレ違いだドアホ
質問スレに逝け
0053MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/11/20(火) 23:20:08(2) nは正の整数とする．{3^(n!)-1}/(2^m)が整数になるような整数mの最大値をMとする．
lim[n→∞]M/nを求めよ．
0054１３２人目の素数さん
2007/11/21(水) 00:58:020055MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/11/21(水) 01:10:26確かに私が13でだいぶ前に出しました．まあそれを一般化に改変してみただけですからね．
0056１３２人目の素数さん
2007/11/21(水) 01:15:57前解いたときはひたすらしらみつぶす感じだったから、一般化のいい方法が思いつかない。
答えはちょうど半分の個数だと思うけど。
0057１３２人目の素数さん
2007/11/21(水) 02:19:28>>50
意味不明
0058１３２人目の素数さん
2007/11/21(水) 02:22:08国語力ないボクチンは帰って寝てなってｗ
0059１３２人目の素数さん
2007/11/21(水) 02:23:060060１３２人目の素数さん
2007/11/21(水) 02:54:39問題アップはコテハンしない方が無難
0061１３２人目の素数さん
2007/11/21(水) 02:57:580062１３２人目の素数さん
2007/11/21(水) 03:01:490063１３２人目の素数さん
2007/11/21(水) 03:06:01問題がおかしいことにコテハンかどうかは関係ないが
なんでコテハンであることに結び付けようとするの？
0064１３２人目の素数さん
2007/11/21(水) 03:41:570065１３２人目の素数さん
2007/11/21(水) 03:50:440066１３２人目の素数さん
2007/11/21(水) 03:56:44,::-''￣`:Y,,,、Y::::::::::::::::::∧:::::::i;:::::::::::::::i;::::::::::::::::::::::::::＼
/ ...:::::::::i" Y:::/::::::::::::/ ヽ;::::iヽ;;:::::::::::!;::::::::::i::::::::..i, ';
.i ..:;::::::::;;;/ `'='":/:::::::;i::::/ ヽ:::!,ヽ;;:::::::::::i;:::::::::|;::::::::|:::::::!,
.|::::;i:::::;// |::::::!:::::::;/::/ ヽ;::i ＼;;::::::!ヽ;:::::|;;:::::::|::::::::|
. i;:;|::;/ ! |::::::|::::::;/!::i ヽ:!, ＼;:::::|ヽ:::::|!;;::::::|:::::::|
＼/ ' !:::::;|::::;/ |:| ヽ! ヽ;::| ヽ::| 'i;:::::|:::::::| 等面四面体は東大生には大事だから覚えとかないといけないんだかんねっ
|::i::;;!;;:::i ｀|!' -ｰ ,,＿ '!, _,,>::!-'!:|´ |::::|::::::|
ﾉ1;;!;!;;;;! ! ,-'',´o::,` ` `=''o:',ヽ、! i:::i:::;::|
|/`!r-!, ./ i::::::::::::i i:::::::::::i. `, !::i;;;;i;:|
' | `)i ' ヽニノ ヽニノ ! /|!`i/V
ヽ `,} .::::::::.. .::::::.. !) /
,,、 `Ti :::::::: ' :::::::::: i,,=i7
ヽ ヽ Vヽ ｲ/ '
`, `, `_へ.、 rﾆｭ _,. t7 "
i ヽ ,-i':ヽ`''"ﾆi-ｰ .,,,,,,,. -t'´''''ﾌ⌒iヽ
,./-´｀'r-ｰ、r-' ヽ: ヾ´ ' ' ｀=/: :/ `、
! - '''ヽ=- } ヽ:.ヽ ／: :/ 'ヽ
} -'''｀Y |ヽ `:、`-ｰ、 ,.-': :／ _,,イ
>、-t-´` .ｲ: :'! ＼ `''+; ;'i ./: :／ _,.-'''´ /: :i
.|:.iゝ、 /i|: : :'!, ｀' ----┴-!--'ー-- ´ i /: : : |
|: Y |ﾉ:i: : : :! /⌒'- .,,/''ヽ| /: : : : :.!
0067MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/11/21(水) 09:39:58指摘も何も，どこも間違ってませんが何か？
0068MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/11/21(水) 09:52:42ちょうど半分とはどういうことですか？
0069１３２人目の素数さん
2007/11/21(水) 09:56:51よく出題ミスするくせによく言うよ。
>>60-61の文脈では、
「MASUDA」が出題するとアンチがいつも現れる。
↓
現れているのはアンチではなく、単に間違いを指摘しているだけだ。
という流れだから、今回の出題に限ったことではなく、一般的な話ですよ。
MASUDAさんってほんと国語力低いよね。
問題文の日本語もいつも変だし。用語を間違って使うし。サイトの文章も下手くそだし。
0071１３２人目の素数さん
2007/11/21(水) 10:08:36益田にとっちゃあ数学は道楽でしかないっぽいもんね。数学を専門にしてないしもう予備校講師じゃないし。
現役時のセンター国語が80台とかサイトで言ってたから国語力のなさはお墨付きｗ
0072１３２人目の素数さん
2007/11/21(水) 10:17:43文系のおれから見たらお前ら全員国語力は馬鹿www
0073１３２人目の素数さん
2007/11/21(水) 10:31:430074MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/11/21(水) 10:36:43a,bが，0≦a≦p-1，1≦b≦p-1を満たす整数とするとき，xについての方程式
x^2+(pm+a)x+(pn+b)=0
を整数係数で因数分解できる整数m,nが存在するような(a,b)の組の個数をpを用いて表せ．
0075MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/11/21(水) 11:06:05なんか間に文章入って変なことに…再度
pを3以上の素数とする．a,bが，0≦a≦p-1，1≦b≦p-1を満たす整数とするとき，xについての方程式
x^2+(pm+a)x+(pn+b)=0
を整数係数で因数分解できる整数m,nが存在するような(a,b)の組の個数をpを用いて表せ．
0076１３２人目の素数さん
2007/11/21(水) 11:22:27>国語力は馬鹿
?
0077１３２人目の素数さん
2007/11/21(水) 12:44:38文系電波君の相手するなって
0078１３２人目の素数さん
2007/11/21(水) 16:23:10x-1,x-2,…,x-(p-1)から
重複を許して2つ選ぶ方法の数と同数で
p(p-1)/2個。
0079MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/11/21(水) 17:42:33不正解です
0080MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/11/21(水) 17:44:17失敬、見間違えました，正解です．
0081MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/11/21(水) 19:00:54f(x)=∫[π/2,x]sint/t dt
とおく．このとき，f(x)≦f(π)を示せ．
0082１３２人目の素数さん
2007/11/21(水) 20:48:57f'(x)=sinx/xであることから、f(x)はx=(2k-1)π（kは正整数）で極大値を取る。
したがってf{(2k-1)π}≧f{(2k+1)π}が示されれば、題意は示される。
つまり∫[(2k-1)π,(2k+1)π]sint/t dt≦0を示せばよい。
∫[(2k-1)π,(2k+1)π]sint/t dt＝∫[(2k-1)π,2kπ]sint/t dt +∫[2kπ,(2k+1)π]sint/t dt
≦∫[(2k-1)π,2kπ]sint/t dt +∫[2kπ,(2k+1)π]sint/(t-π) dt
＝∫[(2k-1)π,2kπ]sint/t dt +∫[(2k-1)π,2kπ]sin(s+π)/s ds (t-π=sとした)
＝0
よって∫[(2k-1)π,(2k+1)π]sint/t dt≦0が言えるのでf(x)はx=πで最大値を取る。
∴f(x)≦f(π)
0083Zenw ◆nQAc.NZenw
2007/11/21(水) 21:37:14このときの四面体OABCの体積をV1とします。
さて、四面体OA'B'C'があります。OA'=OA,OB'=OB,OC'=OCなんですが、∠AOB=β,∠BOC=γ,∠COA=αなんです。
このときの四面体OA'B'C'の体積をV2とします。
このときV1/V2を求めて下さい。
も し く は
四面体OABCがあります。OA=1,OB=2,OC=4,で↑OA.↑OB=1, ↑OB.↑OC=2, ↑OC.↑OA=-1です。
このときの四面体の体積を求めて下さい。
まいどまいど、しょーもない問題ですみません。
0084１３２人目の素数さん
2007/11/21(水) 21:59:36x≦1 のときは明らか。
x>1 のとき
log(y) = ∫[1,y] (1/y')dy' ≦ ∫[1,y] dy' = y-1,
y = (1/e)√x とおくと
√x> (e/2)log(x) > log(x),
0085MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/11/21(水) 22:13:23御名答
0086MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/11/21(水) 22:58:09御名答．そういう解き方されるとは思ってませんでしたが．
ちなみに(1)は(2)の部分的な誘導です．
0087１３２人目の素数さん
2007/11/22(木) 16:27:12(2)
n≧2ではMの値は｢(n!/2^kが整数となる整数kの最大値)+2｣
になって、求める極限値はたぶん1なんだろうけど、不等式評価の使いどころがわからん
0088１３２人目の素数さん
2007/11/22(木) 17:57:16ガウス記号と対数で評価すりゃ終わるだろ
0089１３２人目の素数さん
2007/11/22(木) 17:58:31ガウス記号と対数で評価すりゃ終わるだろ
0090１３２人目の素数さん
2007/11/22(木) 20:34:56ガウス記号と対数で評価すりゃ終わるだろ
009188 ◆D24s65nhoU
2007/11/22(木) 20:53:58おい、リフレインするな偽者
0092MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/11/22(木) 21:22:50log√(ab)≦{(a+b)/2}^t
0093１３２人目の素数さん
2007/11/22(木) 22:15:42a=b=e^eとすれば、(左辺)=e,(右辺)=e^(et) となるので、与不等式が成立するためには
et≧1、すなわちt≧1/eでなければならない。
次に、t=1/eで不等式が成立することを示す。
y=logx上の点(e,1)での接線がy=x/eであり、y=logxのグラフが上に凸なので
x/e≧logxが言え、この式からx≧log(x^e)が導かれる。
このときx^e=zとすることでz^(1/e)≧logzとなる……①
また相加相乗平均の不等式から{(a+b)/2}^(1/e)≧(√ab)^(1/e)となる……②
①でz=√abとして②と組み合わせることで{(a+b)/2}^(1/e)≧log√abが示される。
以上から、求めるtの最小値は1/e。
問題文の左辺をloga+logbとした方が解きづらい問題になりそう。
0094１３２人目の素数さん
2007/11/22(木) 22:46:51相加相乗平均より、(左辺) ≦ log((a+b)/2) = log(A),
>84 の式で y=(1/e)A^t とおく。
t*log(A) ≦ (1/e)A^t,
与式成立条件は、t≧1/e,
0095MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/11/22(木) 23:21:40御名答
0096MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/11/22(木) 23:27:07(i) AB=1
(ii) 点Aはx軸上を(0,0)から(1,0)へ動く
(iii) 点Bはy軸上を(0,1)から(0,0)へ動く
このとき，点Cがある定点で動かないような△ABCは存在しないことを示せ．
0097１３２人目の素数さん
2007/11/22(木) 23:43:21解答つきで。
四面体OABCに対してOA=1,OB=2,OC=4で、cos∠AOB=1/2、cos∠BOC=x、cos∠COA=y のとき、
この四面体の体積が１となるｘ、ｙの関係式を求めよう。
0099１３２人目の素数さん
2007/11/23(金) 11:37:59パラメータtをを次のようにおく。
A=(sin(t),0), B=(0,cos(t)), 0≦t≦π/2
△ABC上の各点の座標(x,y)は
x(t) = x(0)cos(t) + {1-y(0)}sin(t),
y(t) = x(0)sin(t) + y(0)cos(t),
∴ これらを一定にすることは不可能。
0100１３２人目の素数さん
2007/11/23(金) 12:59:03OA方向をy軸、△OABをxy-平面とする。
OA↑=(0,1,0), OB↑=(√3,1,0), OC↑=(X,Y,Z)
とおく。題意により
X√3 +Y = OB↑･OC↑ = 8x,
X = (8x-4y)/√3,
Y = OA↑･OC↑ = 4y,
Z = 3V/(△OAB) = 6V/{OA･OB･sin(∠AOB)} = (6/√3)V,
これらを
X^2 +Y^2 +Z^2 = OC^2 = 4^2,
に代入しる.
0101MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/11/23(金) 17:55:20√x+√y+√z≦k√(2x+y+z)
が常に成り立つような実数kの最小値を求めよ．
0102１３２人目の素数さん
2007/11/23(金) 19:29:17コーシーシュワルツを使って、√10/2
0103triclinic
2007/11/24(土) 02:13:21|OA|=a, |OB|=b, |OC|=c, cos(∠BOC)=x, cos(∠COA)=y, cos(∠AOB)=z とおくと
V = (1/6)abc√(1-x^2 -y^2 -z^2 +2xyz),
>101
(5/2)(2x+y+z) - (√x+√y+√z)^2 = 4x +(3/2)y +(3/2)z -2√(xy) -2√(yz) -2√(zx)
= {2x +y/2 -2√(xy)} + {2x +z/2 -2√(xz)} + {y +z -2√(yz)}
= (1/2)(2√x -√y)^2 + (1/2)(2√x -√z)^2 + (√y -√z)^2 ≧0,
等号成立は 4x=y=z.
0104MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/11/24(土) 03:55:57xyz座標空間に一辺の長さが2の立方体があるとき，この立方体の内部にはＫ点が少なくとも1つ存在することを示せ．
0105１３２人目の素数さん
2007/11/24(土) 10:11:35半径1の球の内部にＫ点が少なくとも1つあることを示せばよい。
球の中心の座標を(a,b,c)とし、整数l,m,nが
l≦a＜l+1,m≦b＜m+1,n≦c＜n+1 を満たすようにする。
(Ⅰ)l+m+nが奇数のとき
球の内部に点(l,m,n),(l,m+1,n+1),(l+1,m,n+1),(l+1,m+1,n)のうち少なくとも1つが含まれる。
(Ⅱ)l+m+nが偶数のとき
球の内部に点(l+1,m,n),(l,m+1,n),(l,m,n+1),(l+1,m+1,n+1)のうち少なくとも1つが含まれる。
したがって一辺の長さが2の任意の立方体に対して、その立方体に内接する半径1の球がＫ点を含むので、題意は示された。
0106MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/11/24(土) 11:28:12Σ[k=1,n](1/p[k])＜{5+log(9n^2/2-9n/2+1)}
ちょっと前に作った失敗作です(極めて不親切な問題)．まあこーゆーのがお好きな方はどうぞ．
0107MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/11/24(土) 11:29:32素数を小さいものから並べた数列を{p[n]}とする．このとき，以下の不等式を示せ．
Σ[k=1,n](1/p[k])＜{5+log(9n^2/2-9n/2+1)}/6
0108１３２人目の素数さん
2007/11/24(土) 21:24:17うまいこと方針が立たないけど、n=1,2は明らかとして
5以上の素数の逆数の総和を、6で割った余りが±1の整数の逆数の総和で上から押さえて
log表示に持ち込むんかね？
0109MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/11/25(日) 01:50:11その通りです．
0110MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/11/25(日) 01:50:53条件『組になったカードに書かれた数a，bについて，|a-b|≦1』
このとき，
lim[n→∞]n(P[n])^(1/n)
を求めよ．
0111１３２人目の素数さん
2007/11/25(日) 10:08:17n≧k≧2における自然数kについて、9^kと9^(k－1)の桁数が等しいときのkの個数をa_nで表す。
lim[n→∞]a_n/nを求めろ。
0112１３２人目の素数さん
2007/11/25(日) 10:55:15log{10}9
0113１３２人目の素数さん
2007/11/25(日) 11:12:59まちがえてるよ
0114１３２人目の素数さん
2007/11/25(日) 11:25:30これ、神戸大学の問題そのまんまだよ
0115112
2007/11/25(日) 11:40:251-log{10}9だな
0116１３２人目の素数さん
2007/11/25(日) 17:26:21p[1] = 2,
p[2] = 3,
p[2k+1] ≧ 6k-1,
p[2k+2] ≦ 6k+1,
1/p[2k+1] + 1/p[2k+2] ≦ 1/(6k-1) + 1/(6k+1)
= 12k/(36k^2 -1)
≦ 12k/(36k^2 -k)
= (1/3){1/(k -1/36)}
< (1/3)∫[k-1/2-1/36, k+1/2-1/36] (1/x)dx,
n=2m+1 または n=2m+2 とすると
(左辺) ≦ 1/2 + 1/3 + Σ[k=1,m] {1/p[2k+1] + 1/p[2k+2]}
< 5/6 + (1/3)∫[1/2 -1/36, m+1/2 -1/36] (1/x)dx
≦ 5/6 + (1/3)∫[1/2 -1/36, n/2 -1/36] (1/x)dx
= 5/6 + (1/3)log{ (n/2 -1/36)/(1/2 -1/36)}
= 5/6 + (1/3)log{C(n-1/18)}, C=18/17,
0117116
2007/11/25(日) 17:43:42p[2k+2] ≧ 6k+1,
だった… ｽﾏｿ
ついでにCも改良…
Σ[k=1,m] {1/p[2k+1] + 1/p[2k+2]}
= 1/5 + 1/7 + Σ[k=2,m] {1/p[2k+1] + 1/p[2k+2]}
< 1/5 + 1/7 + (1/3)∫[3/2 -1/72, m+1/2] (1/x)dx
≦ 1/5 + 1/7 + (1/3)∫[3/2 -1/72, n/2] (1/x)dx
= 1/5 + 1/7 + (1/3)log{(n/2)/(3/2 -1/72)}
= (1/3)log(Cn)
< (1/3)log(n),
C = exp(3(1/5 +1/7))/(3 -1/36) = 0.941069327… <1,
0118１３２人目の素数さん
2007/11/25(日) 19:13:53(k-1,k) と (k,k+1) とは共存しない。 （← k-1以下のカード、k+1以上のカードが何枚残るか考える.)
ということは、
(k,k) か (k,k+1) 2組
のいずれかということ。
0119１３２人目の素数さん
2007/11/25(日) 20:36:512n枚を2枚ずつn組に分ける場合の数をA(n)、その中で条件を満たすものの数をB(n)とすると
A(1)=B(1)=1,A(2)=B(2)=2
A(n+2)=(n+1)*A(n+1)+A(n),B(n+2)=B(n+1)+B(n)
が成り立つ。
こっから先はわからん。(√5+1)/2e とか？
0120MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/11/25(日) 20:40:44nに具体的値が与えられていたらそのやり方でもいけますが，一般化されたこの問題ではかなりきついかと思います．
0121MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/11/26(月) 18:20:08P[n+2]とP[n+1],P[n]の関係式を出すと見通しがよくなります．
0122MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/11/26(月) 18:21:02半径2の円C[0]
半径1の円C[1]
半径pの円C[2]
半径qの円C[3]
半径rの円C[4]
この5つの円は以下の条件を満たす．
(条件1)C[1]はC[0]に内接する．
(条件2)C[2],C[3],C[4]はC[0]に内接かつC[1]に外接する．
(条件3)C[3]はC[2],C[4]に外接する．
(1) qをp,rを用いて表せ．
(2) p+rの最大値を求めよ．
0124MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/11/26(月) 18:47:37どのあたりが意味不明と？
0125１３２人目の素数さん
2007/11/26(月) 18:58:51だからいちいち日本語読めない奴の相手をするなと何度も言ってんだろが
いい加減スルーってもんを学習しろ
0126１３２人目の素数さん
2007/11/26(月) 19:19:40P[n+2]=P[n+1]/(2n+3)+2P[n]/(4n^2+7n+3)
となったんだけど、この漸化式解けるの？
0127１３２人目の素数さん
2007/11/26(月) 21:15:23円Ｃ[k]の中心をO[k]とし、円Ｃ[0]とＣ[1]の接点をＴとする。
∠O[1]ＴO[3]=αとして3*tanα=tとおく。反転を用いると
q=8/(t^2+8)、p,r=8/{(t±2)^2+8} となる。
(1)2/q=1/p+1/r-1を整理。
(2)t^2=8√3-12のときに最大値(√3+1)/2を得る。
受験では余弦定理からソディを導いてひたすら計算になりそうだけどムズすぎじゃね？
0128１３２人目の素数さん
2007/11/26(月) 22:57:07P[n] = Q[n]/{(2n-1)!!} を代入して
Q[n+2] = Q[n+1] + 2Q[n],
Q[n] = (1/3){2^(n-1)･(Q[1]+Q[2]) - (-1)^(n+1)･(Q[2]-2Q[1])} = (1/3){2^(n+1) - (-1)^(n+1)},
P[1]=P[2]=1, Q[1]=1, Q[2]=3.
0129128
2007/11/27(火) 01:26:37ぢゃないな……orz
0130MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/11/27(火) 02:08:24解けますよ．
>>127
御名答．
座標平面持ち出せば計算量は増えますが，そこまで難しくはありませんよ．
0131１３２人目の素数さん
2007/11/27(火) 15:04:06｜ｘ｜≦１ で maxｆ（ｘ）≧（1/２）＾（ｎ-1） を示せ。
0132１３２人目の素数さん
2007/11/27(火) 15:51:45W=?
さあおまいらに解けるか
0133１３２人目の素数さん
2007/11/27(火) 19:24:49常用対数ならW=10^(-0.2556)
自然対数ならW=e^(-0.2556)
くだらん
0134１３２人目の素数さん
2007/11/27(火) 21:27:29チェビシェフの定理そのまんま
0135MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/11/27(火) 21:30:17f[1](x)=1-|2x-1|
f[n+1](x)=f[1](f[n](x))
このとき，方程式f[n](x)=x^3の解すべての総和をS[n]として，
lim[n→∞]S[n]/n^2を求めよ．
0136Zeus（ゼウス）
2007/11/27(火) 21:46:03「不等式と領域に関する問題を創り、解け」
「数列の連立漸化式に関する問題を創り、解け」
「空間内での点の軌跡に関する問題を創り、解け」
「ベクトルの線形計算に関する問題を創り、解け」
0137Zeus（ゼウス）
2007/11/27(火) 21:50:460138１３２人目の素数さん
2007/11/27(火) 22:02:34いても１人か２人程度
0139１３２人目の素数さん
2007/11/27(火) 22:40:10予選Bランク止まりでした
0140１３２人目の素数さん
2007/11/27(火) 22:49:31自分の巣へ帰れ！
レスしてもらえないからって他スレに来るんじゃねぇ！
0141１３２人目の素数さん
2007/11/27(火) 23:13:22お前すげえな
俺はCだったぜｗ
こんな俺でも旧帝数学科でやってけるんだよな
0142１３２人目の素数さん
2007/11/27(火) 23:43:51最終行の分母はn^2ではなく2^nでは？
0143MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/11/28(水) 00:22:16nを正の整数とする．xについての関数f[n](x)を以下のように定める．
f[1](x)=1-|2x-1|
f[n+1](x)=f[1](f[n](x))
このとき，方程式f[n](x)=x^3の解すべての総和をS[n]として，
lim[n→∞]S[n]/2^nを求めよ．
0144１３２人目の素数さん
2007/11/28(水) 09:30:17その立方体の重さを、積分法で求めなさい。
（大学入試問題）
0145１３２人目の素数さん
2007/11/28(水) 10:13:38そうか？
大学への数学では、毎年のように、灘高校から数学オリンピックで
金メダル取る人がいるけど。
0146１３２人目の素数さん
2007/11/28(水) 11:00:35はぁ？それとこのスレに金メダルがいるかいないかとどう関係あるんだ？
0147１３２人目の素数さん
2007/11/28(水) 11:05:45ゼウス持ってくんなカス
0148１３２人目の素数さん
2007/11/28(水) 11:21:090149１３２人目の素数さん
2007/11/28(水) 16:35:19を満たす自然数ｎは存在しないことを証明せよ
0150１３２人目の素数さん
2007/11/28(水) 16:47:32『{(n+1)/2}^ｎ＝n! を満たす自然数ｎは存在しないことを証明せよ』
です。
0151１３２人目の素数さん
2007/11/28(水) 17:01:28細かい論証は省くと
x<0ではf[n](x)=x^3の解はx=-2^(n/2)
x≧1ではf[n](x)≦0＜x^3で解なし。
0≦x＜1ではf[n](x)=x^3はk/(2^n)≦x＜(k+1)/(2^n) (kは0≦k≦2^n-1)を満たす整数)
の2^n個の範囲にそれぞれ一つずつ解を持つ。
∴-2^(n/2)+Σ[k=0_2^n-1]k/(2^n)≦S[n]＜-2^(n/2)+Σ[k=1_2^n]k/(2^n)
よって-2^(-n/2)+(2^n-1)/2^(n+1)≦S[n]/(2^n)＜-2^(-n/2)+(2^n+1)/2^(n+1)
以上から求める極限値は1/2
0152１３２人目の素数さん
2007/11/28(水) 17:02:45意味不明
0153１３２人目の素数さん
2007/11/28(水) 17:12:23つn=1
0154１３２人目の素数さん
2007/11/28(水) 17:12:310155MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/11/28(水) 17:54:58御名答
0156MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/11/28(水) 18:01:16集合Uから重複を許して2つの要素A,Bを選んだとき，AB∈UかつBA∈Uとなる確率を求めよ．
0157１３２人目の素数さん
2007/11/28(水) 18:02:18答えまだー
0158MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/11/28(水) 18:02:26各成分が0または1である3次の正方行列全体の集合をU，0または1または2である3次の正方行列全体の集合をVとする．
集合Uから重複を許して2つの要素A,Bを選んだとき，AB∈VかつBA∈Vとなる確率を求めよ．
0159１３２人目の素数さん
2007/11/28(水) 18:04:23（ａ，ｂ，ｃはすべて異なる自然数）これを初期状態と呼ぶことにする。
《3人の内、持っているカードが最も多い人が、残りの2人のうちどちらかに
自分の持っているカードを１枚渡す》・・・（※）
試行（※）をｎ回行ったとき
（1）初期状態と同じ状態になる確率を求めよ
（2）3人の持っているカードすべて（ａ＋ｂ＋ｃ枚）が元の所有者の手から
少なくとも一度は他に渡っている確率を求めよ。
0160１３２人目の素数さん
2007/11/28(水) 18:13:58枚数が同じになったらどうするんだ？
0161１３２人目の素数さん
2007/11/28(水) 18:21:10枚数が同じになっても、常に最高枚数の人がカードを配るという意味
例えばＡ、Ｂ、Ｃが3,3,2枚のカードを持っているとすると
ＡＢの両方が試行を行い、まとめて一回の試行と数える
0162１３２人目の素数さん
2007/11/28(水) 18:30:11つP[n]={2^(2n+1)+(-1)^n}/{3*(2n-1)!!}
あとは区分求積ででるはず
計算面倒だからあとは任せた
0163１３２人目の素数さん
2007/11/29(木) 01:45:590164１３２人目の素数さん
2007/11/29(木) 02:30:21http://briefcase.yahoo.co.jp/bc/loveinequality/lst?.dir=/b856
0165MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/11/29(木) 11:56:300166１３２人目の素数さん
2007/11/29(木) 22:46:43どちらか少なくとも一方の積の成分に
3があるものの個数を求めて全体から引けばよい。
これは「縦に3つ1が並んでいる列がある要素」と「横に3つ1が並んでいる行がある要素」
の選び方の個数を求めればよいことになる。
↑の方針だと思うけど、確率の値がかなり汚くなるのは仕様？
0167１３２人目の素数さん
2007/11/29(木) 22:57:53AB∈VかつBA∈Vだから条件それだけだと間違ってないか？
縦にも横にも1が並んでるやつを考える必要あるえ
0169１３２人目の素数さん
2007/12/01(土) 00:40:23俺＝コンビニ店員なｗ
まず自分好みのお客様が来たら
俺「温めますか？」
客「はい」
俺「お箸お付けしますか？」
客「はい」
俺「袋一緒でもよろしいですか？」
客「はい」
俺「ポイントカードお持ちですか？」
客「はい」
俺「僕と付き合って頂けますか？」
客「はい……え？」
俺「はい、って…言ったよね？」
客「…もぉ、しょうがないなぁ///」
俺「ｳﾋｮｰｗｗｗｗ」
0170１３２人目の素数さん
2007/12/01(土) 18:56:58各大学の傾向教えて下さい
0171MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/01(土) 22:34:37東大：教育的
京大：発展的
といった感じですね．
0172１３２人目の素数さん
2007/12/01(土) 22:49:28細かい論証は省くと
ABCDが正4面体のとき
m = 16/(3√3) ≒ 3.0792014356 7800407738 2126829343 8…
0173１３２人目の素数さん
2007/12/02(日) 01:38:50答えがそうなることくらいはこのスレの住人なら誰でも分かる。
その論証が知りたい。
0174１３２人目の素数さん
2007/12/02(日) 02:57:00お願いですから↓こういう表現はやめてもらえませんか。数学の専門訓練を受けた人間が見るとイライラするんです。
(x,y)のとりうる値の範囲をxy平面上に図示せよ．
0175１３２人目の素数さん
2007/12/02(日) 03:01:070176１３２人目の素数さん
2007/12/02(日) 03:05:20数学科卒としてだけじゃなく、日本人としてイライラするんですけど。
s≧t≧1をみたすいかなる(s,t)についても，以下の不等式を示せ．
任意のf(x)についても
任意のa，bについても
3,3^2,3^3,3^4,…,3^100のうちで連続して3回同じ桁数
Xが6秒後まで動いたとき，k秒後(k=1,2,…,6)に放物線y=x^2上に点Xがあるようなkが少なくとも1つある確率を最大にするpを求めよ．
0177１３２人目の素数さん
2007/12/02(日) 03:09:48問題を解くと想定される人の99％はいらつかないと思うよ
0178１３２人目の素数さん
2007/12/02(日) 03:19:51論理が不自由だな。あんた。
0179１３２人目の素数さん
2007/12/02(日) 03:33:570180１３２人目の素数さん
2007/12/02(日) 03:35:52おれはお前がどういう訓練を受けたかが気になるんだが。
0182１３２人目の素数さん
2007/12/02(日) 04:03:11何をいまさら…
0183１３２人目の素数さん
2007/12/02(日) 04:19:132007/11/21(水) 09:56:51
>>67
よく出題ミスするくせによく言うよ。
>>60-61の文脈では、
「MASUDA」が出題するとアンチがいつも現れる。
↓
現れているのはアンチではなく、単に間違いを指摘しているだけだ。
という流れだから、今回の出題に限ったことではなく、一般的な話ですよ。
MASUDAさんってほんと国語力低いよね。
問題文の日本語もいつも変だし。用語を間違って使うし。サイトの文章も下手くそだし。
こいつだな
0184１３２人目の素数さん
2007/12/02(日) 06:54:480185１３２人目の素数さん
2007/12/02(日) 09:52:05>>176
いまさらだな。益田の国語力は前から言われてること
てか一部はおかしくないからお前が数学科ってのもあやしい
だいいちこのスレの問題じゃなく全部サイトの問題だろが
ならサイトの方に書き込んでこいやボケ
0186１３２人目の素数さん
2007/12/02(日) 09:56:450187１３２人目の素数さん
2007/12/02(日) 10:05:44ここでそれは痛い台詞だなｗ
0188１３２人目の素数さん
2007/12/02(日) 10:14:56日記見たらスケート狂MASUDAは今仙台にいるらしいよ
ここには来れんだろ
0189MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/02(日) 10:30:45もう帰ってきてますよ．
>>176
問題文において修飾語が重なってしまう表現に関しては，私の国語力不足です．
「任意の○○について“も”」に関しては前に指摘を受けましたのでその後の問題に関しては，最後の「も」を削っております．
「３回同じ桁数になる～」の問題文は大数で用いられていた表現をそのまま転用させていただいたのですが…．
なお，指摘されている問題文はどうやらここの問題じゃなく全てサイトの問題について指摘されているようですので，ここではスレ違いになります．疑問点等ございましたらサイトの方にお願いします．
そもそもイライラするのであれば見に来なければいいと思いますが．
0190１３２人目の素数さん
2007/12/02(日) 10:44:38レス長杉
>そもそもイライラするのであれば見に来なければいいと思いますが．
この一文だけでおk
0191１３２人目の素数さん
2007/12/02(日) 11:15:59数学科卒にとってはおかしいと思える表現が入試ではよく見かけるのはなぜなんだろね
受験生にはあまり関係ないんだろうけど
0192１３２人目の素数さん
2007/12/02(日) 11:25:050193１３２人目の素数さん
2007/12/02(日) 11:41:35例えば？
自分の勝手な印象で語らず、具体的に指摘したほうがいいと思いますよ。
0194１３２人目の素数さん
2007/12/02(日) 11:57:18スレ違いだからここで追求するのもどうかと思うが
例えば上で益田が言ってる「任意の○○について」は「も」を削っても俺はおかしいと思う
でも東大ではこの表現が使用されてるんだよな
0196１３２人目の素数さん
2007/12/02(日) 12:13:29だから、具体的に東大のどの問題ですか？
マスダ氏は大数についてコメントされてますが、それは入試ではないですし。
0197１３２人目の素数さん
2007/12/02(日) 12:28:220198１３２人目の素数さん
2007/12/02(日) 12:53:08どのあたりが「数学科卒にとってはおかしいと思える表現」なんだろう。
日本語で日常的に用いられる表現としてはおかしい、というのであればともかく、
数学では普通に用いられる表現に思えるが。
だんだん、>>191 が一体どこの数学科を出たのか、というのが気になってきた。
0199１３２人目の素数さん
2007/12/02(日) 13:14:13なら>>176の指摘について一つ一つあんたの意見聞かせてよ
0200１３２人目の素数さん
2007/12/02(日) 13:27:53スレ違い
ここは作問スレ
お前ら雑談スレに逝け
0201１３２人目の素数さん
2007/12/02(日) 13:32:320202１３２人目の素数さん
2007/12/02(日) 13:37:22数学科の専門的訓練とやらがいかなるものか教えてくれｗ
0203１３２人目の素数さん
2007/12/02(日) 13:41:04面倒なことを言い出す奴だな。
一個人に過ぎないマスダ氏の文にケチを付けるのは避けたいのだが。
大体俺が聞いてるのはマスダ氏のことではなく、
東大で出されたおかしな表現の問題というのは一体どういうものなのか？
ということなんだが。
どうも、そういう問題はないようですな。
0204１３２人目の素数さん
2007/12/02(日) 14:25:200205１３２人目の素数さん
2007/12/02(日) 14:34:44都合が悪くてスルーしたものって何？
まぁ、答えられないでしょうけど。
0206１３２人目の素数さん
2007/12/02(日) 14:35:410207１３２人目の素数さん
2007/12/02(日) 15:08:12お前もう無差別乱射状態だなwww
何発かは当たってんのかもだけど、このタイミングは文章読まずに定期的に書いてるとしか思えんwww
おもろいからいいけど
0208１３２人目の素数さん
2007/12/02(日) 15:37:13問題いっぱいあるんでしょ？
0209１３２人目の素数さん
2007/12/02(日) 15:55:140210１３２人目の素数さん
2007/12/02(日) 16:25:510211MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/02(日) 16:48:25n+1個の正の偶数a[1],a[2],…,a[n],a[n+1](a[1]=a[n+1])があり，すべてのk(k=1,2,…,n)について
S(a[k])=2a[k+1]
が成り立つならば，f(a[k])+1は素数であることを示せ．
0212１３２人目の素数さん
2007/12/02(日) 21:43:0995年2番は「任意の実数x, yについて」と書いてあるが。
「(x,y)のとりうる値の範囲」という表現は数学的に意味不明だと思うのだが。
数学的には「値」というのは、実数の集合への何らかの写像が定義されている場合に
出てくる言葉だと思うのだが。
積集合の元を「値」と表現するか？
「いかなる(s, t)についても、次の不等式を示せ。」という文も変。
あらゆる(s, t)を代入して、それらすべての不等式を示さなきゃならないかのように読める。
「いかなる(s, t)についても、次の不等式が成り立つことを示せ。」と言えばいいだけ。
0213１３２人目の素数さん
2007/12/02(日) 21:48:03問題作成能力は素晴らしいと思いますが、やっぱり日本語は変。
S(x)でxの正の約数の総和を，f(x)でxを素因数分解したときの2の指数を表すものとする．
↓
S(x)はxの正の約数の総和を表し、f(x)はxを素因数分解したときの2の指数を表すものとする。
「f(x)でxを素因数分解した～」という表現は読む人の誤解を招くと思いませんか？
「3で7を割った余り～」とか「xでf(x)を微分した～」などに見られるように、
f(x)がxに対して何らかの作用をするかのように読めるのです。日本語として。
あと、「AはBを、Cは・・・・・・・・・・・を表すものとする」というような言い回しは、
「Bを」に対する述語がなかなか出てこないので不親切。
最後まで読まないと意味の分からない文は悪文です。
せめて前半を「～を、」で止めずに「～を表すものとし、f(x)でxを～」と書いてあれば、
「f(x)でx」も許容できるのですけど、「表す」という言葉を最後まで出さないせいで二重にまずい日本語になっています。
0214１３２人目の素数さん
2007/12/02(日) 21:52:26という文は、「ついても」という副詞句が「示せ」という動詞にしかかかり得ないという感覚がないのが問題です。
「いかなる(s, t)についても、次の不等式が成り立つことを示せ。」
となっていれば、「ついても」を「成り立つ」にかけられるから意味が通じるのです。
修飾・被修飾の整合性は小学校レベルですよ。
0215１３２人目の素数さん
2007/12/02(日) 22:10:30> 95年2番は「任意の実数x, yについて」と書いてあるが。
だから？
なんで俺 (>>198) へのレスなんだろう？しょうがないので返事するが、
> 「(x,y)のとりうる値の範囲」という表現は数学的に意味不明だと思うのだが。
意味不明ですね。
> 「いかなる(s, t)についても、次の不等式を示せ。」という文も変。
変ですね。これが変だからといって >>189 のように「ついても」の「も」
を取るというのは、最悪の修正法ですね。
> 「いかなる(s, t)についても、次の不等式が成り立つことを示せ。」と言えばいいだけ。
そうですね。
ヤレヤレ
0216MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/02(日) 22:27:12最悪も何も「いかなる(s,t)についても」の問題文で“も”を削ったとは私は一言も言ってないんですけどね．“も”を削ったのは「任意の」と書いた問題です．
「いかなる(s,t)についても」は第３回京大予想の問題のことを指摘されていると先ほど確認しました．あの問題文に関しては「が成り立つこと」が抜けていたので訂正いたしました．
0217MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/02(日) 22:28:35nは2以上の整数とする．また，正の整数xに対し，S(x)はxの正の約数の総和を表し，f(x)はxを素因数分解したときの2の指数を表すものとする．
n+1個の正の偶数a[1],a[2],…,a[n],a[n+1](a[1]=a[n+1])があり，すべてのk(k=1,2,…,n)について
S(a[k])=2a[k+1]
が成り立つならば，f(a[k])+1は素数であることを示せ．
0218１３２人目の素数さん
2007/12/02(日) 22:30:24いわれるがまま、との印象も受けるが素直でよろしい。
これからも指摘を受けるたびに素直にさっさと修正するように。
0220１３２人目の素数さん
2007/12/02(日) 22:32:40ちょwww
素晴らしく上から目線www
0222１３２人目の素数さん
2007/12/02(日) 22:34:10なんかお前の日本語も変になってるよwww
0223１３２人目の素数さん
2007/12/02(日) 22:43:08ははは。じゃ、おわびついでに書いておいてやろう。
>> 189
> 「任意の○○について“も”」に関しては前に指摘を受けましたのでその後の問題に関しては，最後の「も」を削っております．
あるいは
>>216
> “も”を削ったのは「任意の」と書いた問題です．
これでいいというわけではない。そんな機械的に変換すれば OK という問題じゃないんだな。
そもそも >>215 で俺が「最悪」と書いた理由もわかってるのかは、かなり怪しいな。
0224１３２人目の素数さん
2007/12/02(日) 22:54:42・Fの任意の元 a,b について、a-bはFに属する。
そして、Fの任意の元 aは、a-a=0 となる。
・また、Fの任意の元a,bについてa*bはFに属する。
そして、Fのある元eは次のような性質を持つ
・任意のFの元aについて a*e = e*a であり、これはFに属する。
・e*e=e
・-e * -e =e という等式が成り立つ。
・さらに、Fのある元iについて次の等式が成り立つ、i * i = -e
元、e,iを求めよ。
0225１３２人目の素数さん
2007/12/02(日) 22:57:49このスレしか見てない連中からしたら、全文書いて説明してないお前の理屈はワケがわからんぞ
0226１３２人目の素数さん
2007/12/02(日) 23:05:36発端の>>174見たら、このスレの問題にじゃなくmasudaのサイトに対する指摘じゃん
いい加減よそでやれよ。masudaスレでも立てればいいだろ
0227１３２人目の素数さん
2007/12/02(日) 23:05:41東大の問題は誰でも見ることができるのであって、
そんな怠慢な奴にまで親切にしてやる必要はまるでナッシング。
0228１３２人目の素数さん
2007/12/02(日) 23:09:24横レスですいません。
問題文を作成するにあたり、日本語表現をどうしたら良いか、については
常々悩まされる問題です。だから全くのスレ違いというわけではなく、
このスレの議論も興味深く読ませてもらってます。
他にもそういう人は多いかと思います。
0229１３２人目の素数さん
2007/12/03(月) 00:13:33だーかーらー、東大のは見たよ
益田のやつとの違いを教えてくれと言っとるんだ
0230１３２人目の素数さん
2007/12/03(月) 00:14:02実はおれもこっそり参考にさせてもらってたりしてｗ
問題文を簡潔に明瞭に書くって難しいんだよな。
書けないというのは問題の理解が甘いということだと自覚はしてるんだが。
0231１３２人目の素数さん
2007/12/03(月) 00:19:09横レスですまんが、
益田は自分で訂正入れてるわけだし、それを見たらわかるんじゃね？
そもそも東大が「任意の○○について」を使えばそれは無条件で
いつでも正しい、なんて誰も言ってないようだし。
↓のようなあわてんぼうな勘違いをしてるのは、おまえだけではないかと。
>>225
> 東大の「任意の○○について」はよくて益田の「任意の○○について」はダメなのかｗ
0232１３２人目の素数さん
2007/12/03(月) 00:22:19>そもそも東大が「任意の○○について」を使えばそれは無条件でいつでも正しい、なんて誰も言ってないようだし。
言ってるんだよ、>>198がな
0233１３２人目の素数さん
2007/12/03(月) 00:30:19益田「任意の○○についても」
の見分けがつかん奴は益田と同レベル。
0234１３２人目の素数さん
2007/12/03(月) 00:32:41>>221 にも書いたけど、>>198 の具体的な話ついては益田も訂正を入れてるし、
解説がさんざんあるじゃん。数レス上も読めないと？ それとも理解できないの？
0235１３２人目の素数さん
2007/12/03(月) 00:34:22またコテの取り巻きは取り巻きでアフォぶりを発揮するし。
まさか、わざとやってるのかｗｗｗ
0236１３２人目の素数さん
2007/12/03(月) 00:34:510237１３２人目の素数さん
2007/12/03(月) 00:36:56あのな、>>223を読めっつってんだよ
「も」を削ってもダメな理由を聞いてるわけ
横レスするなら読んでから書け
0238１３２人目の素数さん
2007/12/03(月) 00:40:34あまり答えになってないと思うんだけどｗ
232→234が噛み合ってないしｗ
安価ミスか？
0239１３２人目の素数さん
2007/12/03(月) 00:41:32まぁ、そうカリカリするな。頭から湯気が出てるぞ。
お茶でも飲め。
その上でゆっくりレスを読み返せ。 >>223 のどこに
>>225
> 東大の「任意の○○について」はよくて益田の「任意の○○について」はダメなのかｗ
なんて趣旨のことが書いてあるんだろう。どこにもそんなことは書いてないように思うよ。
つまり『東大の「任意の○○について」はよい』なんてどこにも書いてないでしょ。
0240MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/03(月) 00:43:17あの，そろそろ終わりにしませんか？問題がどんどん流れてしまいますし．
私は訂正したので解決しているのですが．
0241１３２人目の素数さん
2007/12/03(月) 00:45:37>>237 よ、あまりのバカっぷりに笑うに笑えないぞ。ということで
=========終了============
0242１３２人目の素数さん
2007/12/03(月) 00:48:05でも正直 >>237 のおつむがかわいそうになってきた。
自分の言いたいことはまともに表現できてないみたいだし、
相手の言うことも理解できてないみたいだしｗｗｗ
0243１３２人目の素数さん
2007/12/03(月) 00:50:16答えは予想つくけど論証がさっぱり分からん
0244１３２人目の素数さん
2007/12/03(月) 00:52:07「も」を削ったからそれで良いなんて言えないでしょ。常考。
0245１３２人目の素数さん
2007/12/03(月) 01:52:21S(a[k])=2^n*a[k]になるから、あとは
完全数についてのEulerの定理と同様に示す。
0246１３２人目の素数さん
2007/12/03(月) 01:56:37つS(4)=1+2+4=7
0247MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/03(月) 10:17:56a[k]は完全数とは限りません．
また，S(a[k])=2^n*a[k]にもなりません．
0248１３２人目の素数さん
2007/12/03(月) 18:47:19これ益田さんできたのですか？
ベクトル
反転
三角関数
どれも渋いことになるのだが。
ベクトル→内積から角度をもちだすがよくわからない
反転→ABCDをBCDに減らしてP,B,C,Dの４点で平面に帰着することができるが後の計算が煩雑すぎてわからない
三角関数→球の中心をOとして∠OIP=2I {I=A,B,C,D}とするとsinA*sinB*sinC*sinDの最大値を求めることになるが固定されたA,B,C,Dの関係式が複雑すぎて後の計算がほぼ不可能
0249１３２人目の素数さん
2007/12/03(月) 18:48:310250１３２人目の素数さん
2007/12/03(月) 19:52:44三角関数持ち出すより幾何の方が解きやすいぞ
単位球とみなして、4点がすべてz≦1/3の領域にくるように球面を回転することができる
これを示せばあとは論証だけで解決できるんじゃない？
0251１３２人目の素数さん
2007/12/03(月) 20:26:33>z≦1/3
これを示したところで長さの積が最大になるPの位置が特定できるとは思えないのですが。
幾何でやると
(i) 積の最大(=m)とは固定された点A、B、C、Dに対してPの位置の特定→具体的な値は求まらない
(ii)mを最小にするとは動くA、B、C、DのもとでPは(i)の状態→具体的な値を求める
そういえば１つ点をおとして３つの場合の積は上のほうで問題があったと思うけどそのあたりにヒントがあるんですかね。
0252１３２人目の素数さん
2007/12/03(月) 22:14:410253MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/03(月) 22:36:59A,B,C,Dが正四面体の4頂点をなすとき，AP*BP*CP*DPが最大になるのは，中心について点Aと対称な点にPを設定したときです．この最大値16√3/9がmの最小値になると予想して論証します．
つまり，この正四面体の状態からA,B,C,Dを動かしたときにAP*BP*CP*DPが16√3/9より大きくなるような点Pを設定できることを示せばいいわけです．
>>250がおっしゃっておられるように幾何で論証した方が楽です．座標から計算でいくと計算地獄になります．
なお，3点の場合の問題も出題しましたが，ヒントにはならないと思います．この問題のオリジナルは某数学者のもので，
『半径1の円周にn個の点列A[k](k=1,2,…,n)があるとき，Π[k=1,n]PA[k]≧2をみたす点Pを円周上に必ずとれることを示せ』
という問題でした．これの立体拡張版なわけですが，立体版では平面版に比べてはるかにややこしく，n個の点の場合については私は全く分かりません．私が分かったのは4≦nの場合まで．n=5ですらいまだにさっぱりです．n=5の場合が分かった方は教えて下さい．
0254１３２人目の素数さん
2007/12/04(火) 02:15:340255１３２人目の素数さん
2007/12/04(火) 10:01:41＼(^o^)／馬鹿が釣れたw
0256１３２人目の素数さん
2007/12/04(火) 10:17:00またお前か
いつもながら意味がわからん
0257MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/04(火) 17:50:04{f(x)}^n≦f(|x|^n)3^(n-1)
が常に成り立つことを示せ．
0258１３２人目の素数さん
2007/12/04(火) 19:19:16x≧0で成り立つことを、チェビシェフの不等式と数学的帰納法で示して
x<0では
f(x)<f(|x|)から、x≧0で成り立つことを用いて示せる。
0259258
2007/12/04(火) 19:22:390260MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/05(水) 12:25:13御名答
0261MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/05(水) 12:26:36|x|≦1
|y|≦1
|z|≦1
x^2+y^2≧r^2
y^2+z^2≧r^2
z^2+x^2≧r^2
この領域Uを立体とみなしたとき，その表面積S(r)の最大値を求めよ．
0262１３２人目の素数さん
2007/12/05(水) 14:43:58｢放置すると､日韓関係にﾋﾋﾞ｣ 外国人参政権付与､成立への流れ加速も…公明に各党同調､自民反対派は沈黙､首相次第か
オランダのイスラム原理主義みたいに…日本国内に韓国市が誕生する
http://search.yahoo.co.jp/search?p=%A5%AA%A5%E9%A5%F3%A5%C0%A4%CE%A5%A4%A5%B9%A5%E9%A5%E0%B8%B6%CD%FD&fr=top_v2&tid=top_v2&ei=euc-jp&search.x=1&x=26&y=15
マスコミが報道しない外国人参政権のカラクリ！
http://jp.youtube.com/watch?v=pILX1H6eRuU&feature=related
0263１３２人目の素数さん
2007/12/06(木) 00:43:17(2) lim[n→∞] n・(π/4-Σ[k=1,n](-1)^k/(2k+1)) を求めよ。
0264１３２人目の素数さん
2007/12/06(木) 01:23:57(1)
成立しない
(2)
与式=lim[n→∞]n(π/4+π/4)=+∞
0265１３２人目の素数さん
2007/12/06(木) 01:52:23？？？
0266１３２人目の素数さん
2007/12/06(木) 02:15:29出題者がまだ自分のミスに気づいてないな・・・
0267１３２人目の素数さん
2007/12/06(木) 02:20:484/3*3.141592…*ｒ に限りなく近く少ない値って事かな？
0268１３２人目の素数さん
2007/12/06(木) 02:36:07変数のrがなぜ入ってるんだ？
0269１３２人目の素数さん
2007/12/06(木) 02:48:221/a + 1/b + 1/7 + 1/c + 1/d = 1
ただし、a<b<7<c<dとする
0270１３２人目の素数さん
2007/12/06(木) 02:51:28a<b<7<c<d<30とする
0271１３２人目の素数さん
2007/12/06(木) 03:16:32a=2 b=4 c=14 d=28
つまらん
0272１３２人目の素数さん
2007/12/06(木) 03:33:240273１３２人目の素数さん
2007/12/06(木) 03:57:02(30π+96√2)/(π+4√2)
0274MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/06(木) 14:21:20p[1]↑=(1,s,1+s)
p[2]↑=(s,1+s,1+2s)
p[n+2]↑=p[n+1]↑+p[n]↑
(n=1,2,…)
(1) p[n]↑･p[n+2]↑-|p[n+1]↑|^2=t(-1)^nがすべてのnについて成り立つとき，s,tのみたすべき条件を求めよ．
(2) xyz座標空間において，原点をOとして，点P[n]をOP[n]↑=p[n]↑となるように定める．このとき，線分OP[n]がx軸，y軸，z軸それぞれとのなす角の大きさをa[n],b[n],c[n]とする(0≦a[n]≦π/2,0≦b[n]≦π/2,0≦c[n]≦π/2)．
lim[n→∞](a[n]+b[n]+c[n])を求めよ．
0275１３２人目の素数さん
2007/12/06(木) 22:36:34p[n]↑ = (q[n-2], q[n-1], q[n] )
q[n] = F[n] + F[n+1]*s,
F[n] はフィボナッチ数.
(1)
p[n]↑･p[n+2]↑-|p[n+1]↑|^2 = q[n]^2 - q[n+1]q[n-1],
0276１３２人目の素数さん
2007/12/06(木) 22:47:59p[n]↑ = (Q[n-1], Q[n], Q[n+1] )
Q[n] = F[n-1] + F[n]*s,
F[n] はフィボナッチ数.
(1)
p[n]↑･p[n+2]↑-|p[n+1]↑|^2 = |Q[n+1]|^2 - Q[n]Q[n+2],
F[n]F[n+2] - |F[n+1]|^2 = (-1)^(n-1),
t = s^2 -s-1.
0277１３２人目の素数さん
2007/12/07(金) 09:28:14(2)
細かい論証を省くと
lim[n→∞]a[n]=π/5
lim[n→∞]b[n]=π/3
lim[n→∞]c[n]=2π/5
なので求める極限値は14π/15
0278MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/07(金) 10:25:24御名答
0279MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/07(金) 10:34:17a[1]=1，a[2]=1，a[3]=2
a[n+3]=a[n+2]+2a[n+1]-a[n]
(n=1,2,…)
このとき，n≧2ならば，a[2n+1]は3つの正の平方数の和で必ず表せることを示せ．
※一般項を求める必要がないとはいえ，4項間なので高校生向けではないかもですが…
0280１３２人目の素数さん
2007/12/07(金) 14:47:26f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 とすると、
f(2x+y+z,x+2y,x+z)=5f(x+y,x+z,z)-6f(x,y,z)+f(x-z,z,y-x+z) という恒等式が成立する。
従ってa[n+1]、a[n-1]、a[n-3]が３つの平方数の和で表せるのなら、a[n+3]も３つの平方数の和で
表せることが示される。
a[1]=1=1+0+0、a[3]=2=1+1+0、a[5]=6=4+1+1、a[7]=19=9+9+1、a[9]=61=36+16+9、a[11]=197=100+81+16
のように、初期の方で成立していることが確かめられるので、数学的帰納法によりに題意は示された
0281１３２人目の素数さん
2007/12/07(金) 15:00:42x+yを次(左側)の関数のx、x+zを次の関数のｙ、yを次の関数のz という関係にある
0282１３２人目の素数さん
2007/12/07(金) 15:01:33ちょwwwすげwww
0283MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/08(土) 00:59:03S[n]=Σ[k=1,n]{(-1)^k}/a[k]
と定める．n→∞のときS[n]は収束することを示せ．
0284１３２人目の素数さん
2007/12/08(土) 03:30:36S[2n] = Σ[k=1,2n-2]{(-1)^k}/a[k] = Σ[K=1,n-1] {-1/a[2K-1] +1/a[2K]} <0, 単調減少.
S[2n+1] = Σ[k=1,2n-1]{(-1)^k}/a[k] = -1/a[1] + Σ[K=1,n-1] {1/a[2K] -1/a[2K+1]} > -1/a[1], 単調増加.
∴ -1/a[1] < S[2n-1] < S[2n+1] < … < S[2n] < S[2n-2] < 0,
∴ S[2n], S[2n+1] はいづれも有界単調列なので, 収束する。
0285１３２人目の素数さん
2007/12/08(土) 09:41:04すげーあやしい答えに見えるのは気のせい？
S[2n]とS[2n-1]が同じ極限値に収束することはこれで示されたことになるの？
0286１３２人目の素数さん
2007/12/08(土) 15:40:330287１３２人目の素数さん
2007/12/08(土) 17:24:010 < S[2n] - S[2n-1] = 1/a[2n] →0, (n→0)
0288１３２人目の素数さん
2007/12/08(土) 18:14:23b[n] = a[2n+1] －a[n+1]^2 －(a[n+2]-a[n+1])^2 －(a[n+1]-a[n])^2,
とおくと
b[1]=0, b[2]=0, b[3]=0,
また漸化式より
b[n+3] - 5b[n+2] + 6b[n+1] - a[n] = a[2n+7] - 5a[2n+5] + 6a[2n+3] - a[2n+1]
=0, >>280
ゆえ
b[n] =0.
0289１３２人目の素数さん
2007/12/08(土) 21:35:51ゲルフォント・シュナイダーの定理より超越数
よって無理数
0290１３２人目の素数さん
2007/12/08(土) 21:49:15交代級数の収束の話だろ常考
0291１３２人目の素数さん
2007/12/08(土) 22:59:31常考ってなんだよ、(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!
0292１３２人目の素数さん
2007/12/08(土) 23:08:280293１３２人目の素数さん
2007/12/08(土) 23:33:04右辺に
a[n] = Aα^n + Bβ^n + Cγ^n,
を代入する方法もあるな。まあ、漸化式を使うのと変わらんが。
α,β,γ は特性方程式 t^3 -t^2 -2t+1 =0 の3根,
A=1/{(α-1)(α-β)(α-γ)}, B=1/{(β-1)(β-α)(β-γ)}, C=1/{(γ-1)(γ-α)(γ-β)},
(解法)
t^3 -t^2 -2t+1 = (T^3 -21T+7)/27 = k･{4(cosθ)^3 -3cosθ + 1/(2√7)} = k･{cos(3θ) + 1/(2√7)},
ここに t=(T+1)/3, T=(2√7)cosθ, k=(14√7)/27,
θ = (1/3){π-arccos(1/(2√7))} = 33.631131549710301868494175086623ﾟ
α =-1.2469796037 1746706105 0009768008 5…
β = 0.4450418679 1262880857 7805128993 5…
γ = 1.8019377358 0483825247 2204639014 9…
0294MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/09(日) 00:20:39f(x)＞0，f'(x)＜0，f''(x)＞0をみたす．このとき
Σ[k=m,n]f(k)＜∫[m-1/2,n+1/2]f(x)dx
が成り立つことを示せ．
(2) Σ[k=1,n]1/k-logn≧i/10をみたす整数iの最大値を求めよ．なお，必要ならば，自然対数の底eがe=2.718…であることを用いてもよい．
0295１３２人目の素数さん
2007/12/09(日) 00:44:020296１３２人目の素数さん
2007/12/09(日) 02:27:47それを出すなら
【加法公式】
a[m+n+1] = a[m+1]a[n+1] + (a[m+2]-a[m+1])(a[n+2]-a[n+1]) + (a[m+1]-a[m])(a[n+1]-a[n]),
で生姜。
m=n の場合は >288 になる。
証明は >293 で。
0297１３２人目の素数さん
2007/12/09(日) 02:58:36（２） pは素数, 整数k≦(p+1)/2 のとき (p-(k+1))*(p-(k+2))*....*(p-(2k-1))≡0 (mod k ! ) を証明せよ。
0298１３２人目の素数さん
2007/12/09(日) 04:07:51>>287は余計だという指摘か？
0299１３２人目の素数さん
2007/12/09(日) 04:16:12(1) 平均値の定理より
f(x) = f(k) + (x-k)f '(ξ) = f(k) + (x-k){f '(k) + (ξ-k)f "(η)},
(x-k)(ξ-k) ≧0, f ">0 より
f(x) ≧ f(k) + (x-k)f '(k), （← x=kでの接線の上側にある, 下に凸）
両辺をxで積分すると
∫[k-1/2,k+1/2] f(x)dx > f(k),
(2)
f(x)=1/x とおくと (1)より Σ[k=2,n] 1/k < log((2n+1)/3),
Σ[k=1,n] 1/k -log(n) < 1 + log((2n+1)/3n)
nが十分大きいときは
Σ[k=1,n] 1/k - log(n) ≦ 1 + log(2/3) < 3/5 = 6/10,
∵ e^2 = (2.71828…)^2 = 7.389… < 7.59375 = (3/2)^5, log(2/3) < -2/5,
Σ[k=1,n] 1/k = 1/2 + Σ[k=1,n-1] (1/2){1/k + 1/(k+1)} + 1/(2n) > (1/2) + ∫[1,n] (1/x)dx = (1/2) +log(n),
Σ[k=1,n] 1/k - log(n) > 1/2 = 5/10,
よって i=5
0300１３２人目の素数さん
2007/12/09(日) 04:23:58証明は>>293なんて使わなくても片方の変数固定すれば明らか。
0301１３２人目の素数さん
2007/12/09(日) 04:25:280302１３２人目の素数さん
2007/12/09(日) 05:00:11〔補題〕
k次積 n(n+1)……(n+k-1) は k!で割り切れる。
(略証)
kについての帰納法による。
k=1 のときは明らか。
k>1 のとき
nについての帰納法による。
n=1 のときは明らか。
nを1だけずらして、差を考える。
(n+1)(n+2)…(n+k) - n(n+1)…(n+k-1) = {(n+k)-n}(n+1)…(n+k-1) = k･(n+1)(n+2)…(n+k-1),
帰納法の仮定より、(k-1)次積 (n+1)(n+2)…(n+k-1) は (k-1)! で割り切れる。
∴ (n+1)(n+2)…(n+k) - n(n+1)…(n+k-1) はk!で割り切れる。
nについての帰納法により、k次積 n(n+1)…(n+k-1) もk!で割り切れる。
nから始まるk次積を n(n+1)…(n+k-1) = (n)_k と書いて Pochhammerの記号 とか言うらしい。
0303302
2007/12/09(日) 05:13:51〔補題〕
0≦k≦n のとき k次積 n(n-1)……(n-k+1) は k!で割り切れる。
(略証)
n(n-1)…(n-k+1)/k! = n!/{(n-k)!k!} = C[n,k] とおく。
nについての帰納法による。
C[n+1,0] = C[n+1,n+1] =1.
1≦k≦n のとき
C[n+1,k] = C[n,k] + C[n,k-1] (← Pascalの3角形)
帰納法の仮定よりC[n,*]は自然数だから、C[n+1,k] も自然数。
0304１３２人目の素数さん
2007/12/09(日) 14:29:58それも何十回も証明書かれてるものの
0305MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/09(日) 16:11:56A[p,k]の要素を小さいものから並べると等差数列になるためのkのみたすべき必要十分条件を求めよ．
0306１３２人目の素数さん
2007/12/09(日) 22:59:16（２）は下の(2)と同じですな。
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第九問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1182629190/210
210 名前：MASUDA ◆wqlZAUTQF. [sage] 投稿日：2007/07/14(土) 03:30:17
C[n,r]は二項係数である。
(1) n≧2とする。『nが素数ならば、1≦r≦n-1を満たす任意のC[n,r]はnで割り切れる。』は真であるといえるか。
(2) nを3以上の奇数とする。『1≦r≦(n-1)/2を満たす任意のC[n-r,r]がn-rで割り切れることとnが素数であることは互いに必要かつ十分』は真であるといえるか。
0307１３２人目の素数さん
2007/12/09(日) 23:43:51(sinθ)^3+(cosθ)^3
の最大値、最小値を求めよ
0308１３２人目の素数さん
2007/12/09(日) 23:56:430310１３２人目の素数さん
2007/12/10(月) 00:47:530311１３２人目の素数さん
2007/12/10(月) 08:22:56今年で新課程３年目ですが、そろそろ新課程色が出そうな気がします。
１次変換、微分方程式といった所はどうなんでしょう？
皆さんのご意見をお伺いしたいです。
0312311
2007/12/10(月) 08:24:07○ 今度で
0313１３２人目の素数さん
2007/12/10(月) 08:34:00東大の傾向としては抽象的な性質を問うものよりも、
点を回転させて極限か面積・領域などと絡めるタイプだろう。
微分方程式は基本的に範囲外なのでまず出ない。
0314１３２人目の素数さん
2007/12/10(月) 08:54:090315１３２人目の素数さん
2007/12/10(月) 21:57:570316１３２人目の素数さん
2007/12/10(月) 23:20:43今の課程でも微分方程式を取り扱ってる問題集はほとんどないんだろうな
0317１３２人目の素数さん
2007/12/10(月) 23:35:16そーでもないよ。チャート式には微分方程式ある
0318１３２人目の素数さん
2007/12/10(月) 23:41:26>>308はsin1°ではなくてsin1
0319１３２人目の素数さん
2007/12/11(火) 00:53:03僕が工房の頃は、線形２階定数係数くらいはやってた気がする。
数列の隣接３項間漸化式、行列のｎ乗計算と同じ解き方ができるんで
感動した記憶がある。
0320１３２人目の素数さん
2007/12/11(火) 01:05:120321296
2007/12/11(火) 01:14:52【加法公式】
a[n]の隣接する4項の間に斉一次な漸化式が成立つとき、適当な対称行列C[i,j]があって
a[m+n+1] = Σ[i,j=1～3] a[m+i-1]･C[i,j]･a[n+j-1],
(略証)
m=-1,0,1 のとき右辺は
Σ[j=1,3] {Σ[i=1,3] a[i-2]･C[i,j]} a[n+j-1],
Σ[j=1,3] {Σ[i=1,3] a[i-1]･C[i,j]} a[n+j-1],
Σ[j=1,3] {Σ[i=1,3] a[i ]･C[i,j]} a[n+j-1],
これが a[n], a[n+1], a[n+2] と一致することを示そう。
対称行列Aを A[m+2,i] = a[m+i-1] とおく。(i=1～3, m=-1～1)
また、C = A^(-1) とおくと
Σ[i=1,3] a[m+i-1]･C[i,j] = Σ[i=1,3] A[m+2,i]･C[i,j] = δ_(m+2,j), (j=1～3, m=-1～1)
だから 上の3式は a[n], a[n+1], a[n+2] に一致する。
さらに、a[n]の隣接する4項の間には斉一次な漸化式が成立つから、すべての整数mについて成立つ。(終)
0322１３２人目の素数さん
2007/12/11(火) 11:49:13あとで演算子法に繋がる。
0323MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/11(火) 13:02:27P(a,0,p)，Q(0,0,q)，R(0,b,r)
がある．△PQRが鈍角三角形となるためのp,q,rのみたすべき必要十分条件を求めよ．
(2) 立方体を平面でどのように切断しても，その切断面は正５角形にならないことを示せ．
0324１３２人目の素数さん
2007/12/11(火) 13:24:35(2) 立方体の断面となる 5 角形は 2 組の辺が平行だが、
正 5 角形の辺で平行なものはない。
0325１３２人目の素数さん
2007/12/12(水) 09:20:25eの無理数性と同様にテイラー展開を使うと見た
ここの問題って実際の入試に出されるとクレームがつきそうだよね
0326１３２人目の素数さん
2007/12/12(水) 10:15:120327MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/12(水) 11:02:52(1+i)^a*(1+i√3)^b
が実数であるときの値をf(a,b)とする．
(1) (1+i)^4，(1+i√3)^3の値を求めよ．
(2) |f(a,b)|の最小値を求めよ．
(3) 2log[2]|f(a,b)|がとりえない正の整数の個数を求めよ．
0328１３２人目の素数さん
2007/12/12(水) 11:09:250329１３２人目の素数さん
2007/12/12(水) 12:44:46どう考えてもそんなにないだろwww
0330１３２人目の素数さん
2007/12/12(水) 15:08:480331１３２人目の素数さん
2007/12/12(水) 15:18:350332１３２人目の素数さん
2007/12/12(水) 16:00:270333１３２人目の素数さん
2007/12/12(水) 16:51:150334１３２人目の素数さん
2007/12/12(水) 17:02:04ばかます
0335１３２人目の素数さん
2007/12/12(水) 18:40:55無限にあると思うが
0336１３２人目の素数さん
2007/12/12(水) 18:54:37|f(a,b)|=|(-4)^n*(-8)^m|=2^(2n+3m)
となるから無数だね
益田さん、対数の前の2は何ですか？これなかったら5個と求まりますが
0337１３２人目の素数さん
2007/12/12(水) 21:19:470338１３２人目の素数さん
2007/12/12(水) 21:20:49ばかます
0339MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/12(水) 21:48:00確かに2はいらなかったですね．
0340１３２人目の素数さん
2007/12/13(木) 00:02:01文理共通問題を想定して作ってみたんだけど、どうかな？
難しすぎる？
0341１３２人目の素数さん
2007/12/13(木) 00:07:410342１３２人目の素数さん
2007/12/13(木) 00:12:08解いてみてよ
0343１３２人目の素数さん
2007/12/13(木) 00:30:35ありふれた問題。 x^(1/x) の増減を調べればよい。
（０．９９）99，（１．０１）-101 の大小を比較せよ。
0344１３２人目の素数さん
2007/12/13(木) 00:37:130345１３２人目の素数さん
2007/12/13(木) 00:40:390346１３２人目の素数さん
2007/12/13(木) 01:14:34失礼！コピペしたので修正し忘れた。
（０．９９）^99，（１．０１）^-101 の大小を比較せよ。
でした。
0347１３２人目の素数さん
2007/12/13(木) 08:40:23を満たす正の整数 ｐ、ｑ、ｒ を求めよ。
0348１３２人目の素数さん
2007/12/13(木) 10:17:00本当に全部分かってて出題してるの？
0349MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/13(木) 12:29:210≦p≦1
0≦q≦f(p)
0≦r≦f(r)
をみたすとき，p+q+rの最大値を求めよ．
0350１３２人目の素数さん
2007/12/13(木) 12:59:210351MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/13(木) 14:13:22f(x)=-2x(x-2)とする．実数p,q,rが
0≦p≦1
0≦q≦f(p)
0≦r≦f(q)
をみたすとき，p+q+rの最大値を求めよ．
0352１３２人目の素数さん
2007/12/13(木) 15:25:240353MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/13(木) 15:28:07御名答
0354MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/13(木) 15:36:37(1) nは0以上の整数とする．0≦k≦nをみたす整数kに対して，C[2008+k,k]が奇数となる確率をp[n]とする．
lim[n→∞]p[n]を求めよ．
(2) mは正の整数とする．0≦k≦n≦mをみたす整数n,kに対して，C[n,k]が奇数となる確率をq[m]とする．
lim[m→∞]q[m]=0を示せ．
0355１３２人目の素数さん
2007/12/13(木) 16:20:42k=1
k≧2のとき
p^m＞kならば
「C[p^m，k]とC[(p^m)+1，k]がpで割り切れることをいう。」･･･※
「C[p^m，k]がpで割り切れること」･･･○
k*C[p^m，k]=(p^m)C[(p^m)-1，k]
k=(p^u)*v(vはpで割り切れない)と書ける。
このとき、p^m＞(p^u)*v≧p^uよりm＞u
v*C[p^m，k]=p^(m-u)*C[(p^m)-1，k]
よってv*C[p^m，k]はpで割り切れる。
vとpは互いに素だからC[p^m，k]がpで割り切れる。
「C[(p^m)+1，k]がpで割り切れること」･･･●
C[(p^m)+1，k]=C[p^m，k]+C[p^m，k-1]
○よりC[p^m，k]とC[p^m，k-1]はpで割り切れるので
C[(p^m)+1，k]=C[p^m，k]+C[p^m，k-1]よりC[(p^m)+1，k]もpで割り切れる。
○と●より※はいえた。
※より、k≧2のときA[p，k]の要素が等差数列ならば、交差は1である。
よってC[k,k]=1もpで割り切れなければならなくなって不合理
k=1ならばC[n,1]=nだから、A[p,1]={n|nはpで割り切れる}となるので明らかに正しい。
0356１３２人目の素数さん
2007/12/13(木) 18:17:20数３使えないじゃん。
0357１３２人目の素数さん
2007/12/13(木) 18:26:59>>k*C[p^m，k]=(p^m)C[(p^m)-1，k]
は C(n,k) = (n/k)C(n-1,k-1) = (n/n-k)C(n-1,k) では？
0358１３２人目の素数さん
2007/12/13(木) 18:59:07名大にはそんな訳の分からんルールがあるのか。
0359１３２人目の素数さん
2007/12/13(木) 21:39:44k*C[p^m，k]=(p^m)C[(p^m)-1，k-1]
だった。スマソ
0360MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/13(木) 23:01:02>よってC[k,k]=1もpで割り切れなければならなくなって不合理
↑この部分がちょっとまずいですが…．初項がC[p^m,k]の可能性もありますから，別の例外を探す必要があります．
0361MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/13(木) 23:22:040362１３２人目の素数さん
2007/12/14(金) 00:40:20>>355のC[k，k]をC[p^m+k，k]に訂正します
C[p^m+k，k]={(p^m+ｋ)(p^m+k-1)･･･(p^m+1)}/{k*(k-1)*･･･1}
1≦h≦kとなるhを任意にとる
h=(p^t)s(sはpで割り切れない)とかける。
p^t≦h≦k＜p^mよりm＞k
p^m+h=(p^t){p^(m-t)+s}でp^(m-t)+sはpで割り切れないからp^m+hはp^tで割り切れるがp^(t+1)で割り切れない。
したがって、{(p^m+ｋ)(p^m+k-1)･･･(p^m+1)}/{k*(k-1)*･･･1}の
分子のp^m+hと分母のhでうまくpが約分され、C[p^m+k，k]はpで割り切れないことがわかる
0363１３２人目の素数さん
2007/12/14(金) 01:08:26数３使えないじゃん。
0364１３２人目の素数さん
2007/12/14(金) 01:13:250365１３２人目の素数さん
2007/12/14(金) 01:16:272点 B,C を円周上に ∠BOC=2θ を満たすように固定する。
題意より、点Aは 円周上であって直線BCに関してOと同じ側にある。
底辺の長さは BC=2sinθ,
△ABCの面積は S=(1/2)h*BC, hは底辺からのAの高さ。
面積Sが最大となるのは高さhが最大のときだから、2等辺3角形のとき。
h = 1 + cosθ,
S = (1+cosθ)sinθ,
0366１３２人目の素数さん
2007/12/14(金) 02:14:360367１３２人目の素数さん
2007/12/14(金) 02:26:13y=xに対して対称だから、微分したのが１になって、さらに接するならばx=yになることから必要条件が導けて、それが十分性も満たすことが言えればおしまいな気がする。
計算してないけど、計算に何かテクニックが必要なの？
0368１３２人目の素数さん
2007/12/14(金) 03:27:19sin(nx)/sin(x) = {sin(nx)-sin(-nx)}/sin(x) = cos(-(n-1)x) + cos(-(n-3)x) + …… + cos((n-3)x) + cos((n-1)x),
{sin(nx)/sin(x)}^2 = n + 2Σ[k=1,n-1] (n-k)cos(2kx),
右辺を積分すれば第1項はnπ、第2項は0.
0370１３２人目の素数さん
2007/12/14(金) 10:15:010371MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/14(金) 10:46:05(1) i,mは0≦i≦mをみたす整数とする．二項係数C[2008+i,2008]が奇数となる確率をp[m]とするとき，
lim[m→∞]p[m]を求めよ．
(2) 二項係数C[n,k](0≦k≦n≦m)が奇数となる確率をq[m]とする．
lim[n→∞]q[m]を求めよ．
0372１３２人目の素数さん
2007/12/14(金) 12:15:47何が同様に確からしいか仮定されていないから答は
不定
0373１３２人目の素数さん
2007/12/14(金) 12:24:54(p,q,r) = (1, n^2, n) , (4, (n+1)^2, n) , (8, 2, 1)
高校の範囲外。
一桁の自然数に限定すればぎりぎりｾｰﾌか？
0374１３２人目の素数さん
2007/12/14(金) 12:30:39(1)
2008を2進数で表したときの1の個数は6個だから
1/2^6=1/64
(2)
0
0375MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/14(金) 17:12:46a[n]/2^n＜√(p^2+p+1/2)-p＜(a[n]+1)/2^n
b[1]=a[1]
b[n+1]=a[n+1]-2a[n]
(1) {b[n]}のとりうる値をすべて求めよ．
(2) b[2008]=1をみたすpは有限個であることを示せ．
0376１３２人目の素数さん
2007/12/14(金) 19:04:46なので p > 2^2006 ならば b[2008]=0
0377MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/14(金) 20:48:51f(n)=n^n*(n-1)^(n-1)*(n-2)*…*2^2*1^1
g(n)=(n!)^n
と定めるとき，
(mn)!f(m+n)g(m)g(n)/{f(n)f(m)g(m+n)}
は整数であることを示せ．
0378受験勉強中
2007/12/14(金) 21:26:58私でもわかるように説明をお願いします。
＋と－の記号を重複を許して一列に並べる列のうち、
同じ記号は3つ以上連続して並ばないものとする。
＋と－の記号を全部でｎ個（ｎ≧2）使って作られる列のうち、
最後が＋＋または－－で終わる列の個数をAn、
最後が＋－まはた－＋で終わる列の個数をBnとする。
1)An+1とBn+1をAnとBnであらわせ
2){An+rBn}が公比rの等比数列となるようなrを求めよ
3)長さがnのこのような列の個数An+Bnを求めよ。
パソコンで数学を打つのって難しいですね・・・。
突然の登場ですみません。
よろしくお願いします(><)
0379１３２人目の素数さん
2007/12/14(金) 21:41:40答え：質問スレに行きなさい。
スレ違いだ。それともマルチか？
0380受験勉強中
2007/12/14(金) 21:57:17質問のほうに書いてみます。
0381受験勉強中
2007/12/14(金) 22:00:42とりあえず回答のもらえそうなところに書き込んでしまいました。
0382１３２人目の素数さん
2007/12/14(金) 23:50:53正四面体ＯＡＢＣに対し、ある頂点にいる動点Ｐは、同じ頂点にとどまることなく、
１秒ごとに他の３つの頂点に同じ確率で移動する。はじめ点Ｐは頂点Ａに存在する。
ｎ秒後に点Ｐが、頂点Ｏをｋ回通って、頂点Ａに戻る確率を求めよ。
ただし、２ｋ≦ｎとする。
0383１３２人目の素数さん
2007/12/15(土) 00:16:16参考書の例題にあるのではないでしょうか。
0384１３２人目の素数さん
2007/12/15(土) 00:48:21私でもわかるように説明をお願いします。
＋と－の記号を重複を許して一列に並べる列のうち、
同じ記号は3つ以上連続して並ばないものとする。
＋と－の記号を全部でｎ個（ｎ≧2）使って作られる列のうち、
最後が＋＋または－－で終わる列の個数をAn、
最後が＋－まはた－＋で終わる列の個数をBnとする。
1)An+1とBn+1をAnとBnであらわせ
2){An+rBn}が公比rの等比数列となるようなrを求めよ
3)長さがnのこのような列の個数An+Bnを求めよ。
パソコンで数学を打つのって難しいですね・・・。
突然の登場ですみません。
よろしくお願いします(><)
0385１３２人目の素数さん
2007/12/15(土) 01:05:030386１３２人目の素数さん
2007/12/15(土) 01:27:43y = f(x) = cx(x+1) + 1/24 と y=x の接点を (a,a) とすると、
a = f(a) = ca(a+1) + 1/24,
1 = f '(a) = c(2a+1),
よって a = (1-c)/(2c) により aを消すと,
0 = (1-c)^2 - c/6 = (2-3c)(3-2c)/6,
より
c=2/3, 接点(1/4,1/4)
c=3/2, 接点(-1/6,-1/6)
0387１３２人目の素数さん
2007/12/15(土) 02:10:50接点がｘ＝ｙ上にあるとは限らない。
ｘ＝ｙ上にあるときでも傾きが１になるとは限らない。
0388１３２人目の素数さん
2007/12/15(土) 02:33:07そのときは、x軸とy軸を入れ替えてみる。
0389１３２人目の素数さん
2007/12/15(土) 06:55:10（１）x,y平面の格子点上を確率1/4で東西南北に移動する酔歩をするとき
最初に原点にいるときに２ｎ回目に再び原点に戻って来る確率を求めよ。
（２）同様にx,yz空間の格子点上を確率1/6で東西南北上下に移動するとき
２ｎ回目に再び原点に戻って来る確率を求めよ。
0390１３２人目の素数さん
2007/12/15(土) 09:00:140391１３２人目の素数さん
2007/12/15(土) 09:08:140392１３２人目の素数さん
2007/12/15(土) 09:20:090393１３２人目の素数さん
2007/12/15(土) 09:23:540394１３２人目の素数さん
2007/12/15(土) 09:26:45「いいえ、あれは、バスです」
0395１３２人目の素数さん
2007/12/15(土) 09:34:020396MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/15(土) 09:54:41ここ2ch
厳密な論証までやってる答案書く必要もない
明らかなことは省くのが普通
0397MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/15(土) 10:13:32xy平面上でx^2/4+y^2≦1をみたす領域Aがあり，原点Oを中心としてAを反時計まわりにπ/3だけ回転させた領域をBとする．AとBが共有する領域の面積をSとしたとき，S＞4π/3を示せ．
0398Σ（０Д０）
2007/12/15(土) 10:43:29相当な間違えですな
0399１３２人目の素数さん
2007/12/15(土) 10:44:160400１３２人目の素数さん
2007/12/15(土) 10:56:490401１３２人目の素数さん
2007/12/15(土) 12:56:49学校の宿題か？
0402１３２人目の素数さん
2007/12/15(土) 13:37:070403１３２人目の素数さん
2007/12/15(土) 14:30:470404１３２人目の素数さん
2007/12/15(土) 16:24:29最終行の不等号の向きあってる？
0405１３２人目の素数さん
2007/12/15(土) 18:04:05楕円形領域Aを回す角を 2α とする。
Aの周とBの周の交点P,Qは直線 y=mx または y=-(1/m)x の上にある。ここに m=tanα.
P ( 2/√(1+4m^2), 2m/√(1+4m^2) ),
Q ( -2m/√(4+m^2), 2/√(4+m^2) ),
このままでは面積を出し難いので、x軸方向に(1/2)倍に圧縮してみる。
Aは半径1の円板になる。交点P,Qは
P' ( 1/√(1+4m^2), 2m/√(1+4m^2) ),
Q' ( -m/√(4+m^2), 2/√(4+m^2) ),
に移り OP'Q'は扇形になる。
S(OP'Q') = (1/2){arctan(-2/m) - arctan(2m)} = (1/2)arctan((2/3)(m + 1/m)),
S(OPQ) = arctan((2/3)(m + 1/m)),
S(A∩B) = 4arctan((2/3)(m + 1/m)),
さて 本題では α=π/6, m=1/√3 だから,
(2/3)(m + 1/m) = 8/(3√3) = 1.5396007178… < 1.5574077246… = tan(1),
S(OPQ) = arctan(8/(3√3)) < 1,
S(A∩B) < 4,
>404
逆向きかとｵﾓﾀ.
0406１３２人目の素数さん
2007/12/15(土) 23:20:56x^2 + y^2 + z^2 + 2axy + 2byz + 2czx ≧ 0
が常に成立するための a, b, c の満たすべき必要十分条件を求めよ。
0407１３２人目の素数さん
2007/12/16(日) 00:11:57>ここ2ch
>厳密な論証までやってる答案書く必要もない
>明らかなことは省くのが普通
なんて書いているということは
>>367=>>386=>>388=>>390=>>396=MASUDA ◆5cS5qOgH3M
ということだな
0408１３２人目の素数さん
2007/12/16(日) 00:14:35「いいえ、あれは、MASUDAです」
0409１３２人目の素数さん
2007/12/16(日) 00:28:19z=0でも成り立つから
x^2+y^2+2axy≧0
x^2+y^2+2axy=(x+ay)^2+(1-a^2)y^2であり、
y^2≧0だから、1-a^2≧0 よって、-1≦a≦1
同様にして、-1≦a,b,c≦1
逆に-1≦a,b,c≦1であるとき、
x^2+y^2+z^2+2axy+2byz+2czx≧x^2+y^2+z^2-2|a||xy|-2|b||yz|-2|c||zx|
≧x^2+y^2+z^2+2|xy|+2|yz|+2|zx|
≧0
よって、-1≦a,b,c≦1が求める必要十分条件
0410１３２人目の素数さん
2007/12/16(日) 00:31:360411１３２人目の素数さん
2007/12/16(日) 00:54:160がm個並んでいる状態から、一つを選んでプラス1するという操作を繰り返してnがm個並んでいる状態にする。
ただしm個の要素が常に小さい順(同じもあり)に並んでいなければならない。
以上のような操作の方法の場合の数が問題の関数なので、整数となるのは明らか。
0412１３２人目の素数さん
2007/12/16(日) 00:55:54>>409
x=y=z=a=b=c=-1のとき
x^2+y^2+z^2+2axy+2byz+2czx=-3だから明らかに間違い
0413１３２人目の素数さん
2007/12/16(日) 01:08:26|
恐れ入りました。
0414１３２人目の素数さん
2007/12/16(日) 01:08:41それで何が間違いだよwww
問題嫁www
0415１３２人目の素数さん
2007/12/16(日) 01:12:520417１３２人目の素数さん
2007/12/16(日) 01:18:53a=b=0,c=1でも成り立つからその条件だと不十分じゃね？
0418MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/16(日) 01:36:230419409
2007/12/16(日) 01:49:42ごめん
巣で間違った
こんな感じ？
x^2+y^2+z^2+2axy+2byz+2czx
≧3(x^2*y^2*z^2)^(1/3)+2axy+2byz+2czx
x^2=y^2=z^2のときに最小値をとることが必要十分なのでこれが≧0であればよい
これを求めると
a+b+c≧-3/2 かつ a-b-c≧-3/2 かつ -a+b-c≧-3/2 かつ -a-b+c≧-3/2
これでおｋ？
0420１３２人目の素数さん
2007/12/16(日) 01:50:23数Ｉ・Ａ の範囲か。
0421１３２人目の素数さん
2007/12/16(日) 01:52:38あれ？また俺間違ってる？
0422１３２人目の素数さん
2007/12/16(日) 01:54:410423１３２人目の素数さん
2007/12/16(日) 02:00:18え？
MASDAって名無しとコテを使い分けてるの？
何のために？
0424１３２人目の素数さん
2007/12/16(日) 02:01:080425１３２人目の素数さん
2007/12/16(日) 02:03:29ますだって誰？
0426１３２人目の素数さん
2007/12/16(日) 02:16:530427１３２人目の素数さん
2007/12/16(日) 02:23:150428１３２人目の素数さん
2007/12/16(日) 06:20:58a^2 +b^2 +c^2 ≦ 1 + 2abc ≦ 3,
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1181970000/368-369
線形代数/線型代数４
0429１３２人目の素数さん
2007/12/16(日) 09:23:210430１３２人目の素数さん
2007/12/16(日) 09:50:410431１３２人目の素数さん
2007/12/16(日) 10:16:130432１３２人目の素数さん
2007/12/16(日) 10:18:550433１３２人目の素数さん
2007/12/16(日) 10:27:16(出典は益田ホムペの掲示板)
■益田さんに質問(#2)
1[名無しさん]
数学とは関係ない質問なので、雑談掲示板に、スレを立てました。益田さん、できれば、全ての質問に答えてください。お願いします。
１）中学・高校・大学時代に、部活・サークルに所属してましたか？
２）塾・予備校以外で、習い事をしたことはありますか？
３）大学時代にやったバイトは？
４）得意科目は？苦手科目は？（５教科だけでなく、副教科も含む）
５）趣味・娯楽は？（ジャンルの指定なし）
６）萌えアニメ・二次元美少女に、興味ありますか？好きですか？
６）はオレの趣味なので、益田さんにとっては、変なことかもしれませんが、許してください…
2007-12-11 13:49
>>434につづく
0434１３２人目の素数さん
2007/12/16(日) 10:28:372 [益田]
聞いてどうするのか知りませんが．
１）
中高は卓球部でした．大学は軽音サークル(ドラムやってました)，バドミントンサークル，スキーサークルを転々としてましたね．
２）
バーテンダー修行を１年間本格的にやったことがあります．
３）
バイトは
予備校講師，バーテンダー，病院当直などをやってました．
４）
得意科目：数学，音楽，美術，政経
苦手科目：古文，漢文，英語
５）Ｆ１観戦，映画鑑賞，音楽鑑賞，グルメ，お酒(バー)，読書，バドミントン，バンド
６）
アニメ全般はジブリ作品以外全く見ません．
2007-12-11 14:15
0435１３２人目の素数さん
2007/12/16(日) 13:45:110436１３２人目の素数さん
2007/12/16(日) 14:24:34判別式2回取るだけ。
0437406
2007/12/16(日) 14:38:47(a, b, c, x, y, z) = (1, -1, -3/2, 1/2, 1/2, -1)
>>420
(a, b, c, x, y, z) = (9/4, 3/2, 3/2, -15/16, 1/2, 1/2)
>>428
用意した解答と違うんだが、反例が見つけられない。
でも369で |xI-A| = 0 が虚数根を持つ場合を考慮していないので多分違う。
0439１３２人目の素数さん
2007/12/16(日) 14:51:220441１３２人目の素数さん
2007/12/16(日) 15:09:57A=｛（x，y）｜a x＾2＋b xy＋c y＾2＋d＝0｝、B=｛（x，y）｜p x＾2＋q xy＋ｒ y＾2＋s＝0｝
に対して、A=B となる必要十分条件を求めよ。
0442MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/16(日) 16:16:051+{Σ[k=1,2n]e^{(2k-1)/4n}/2n＜e
0443１３２人目の素数さん
2007/12/16(日) 17:38:12{1+1/(2n-1)}^2nが単調増加で極限がeになるから
{1+1/(2n-1)}^2n<e が導かれる。
あとはこれを式変形していくだけ。
0444１３２人目の素数さん
2007/12/16(日) 17:43:45それをどう式変形しろと・・・教えて
0445MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/16(日) 17:48:45たぶんそれでは無理だと思いますが…何かうまいやり方でもあるんですか？
0446443
2007/12/16(日) 18:10:26…はい、すいません嘘です問題勘違いしてました。
e^x+e^(-x)-2>0からx>0で
e^x-e^(-x)-2x>0になって
x=1/4nを代入した式の変形を施していく感じでどうでしょうか。
0447１３２人目の素数さん
2007/12/16(日) 18:43:33左辺をf(n)としたらf(n)→eなわけだが
n=1の時点でf(1)=2.700512717はかなりの精度
オイラーの和公式でもないっぽい
益田さん、どやって見つけたの？
0448１３２人目の素数さん
2007/12/16(日) 18:45:470449MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/16(日) 18:51:37その方針は私の中になかったのでいろいろ変形してみましたが，私ではうまく変形しきれませんでした．
>>447
元ネタは凸不等式です．いろいろ変形してるうちに>>442が出来上がりました．
>>448
1個抜けておりました．
1+{Σ[k=1,2n]e^{(2k-1)/4n}}/2n＜e
0450１３２人目の素数さん
2007/12/16(日) 19:05:19t-1/t>1/2n
→t/(t^2-1)<2n
→t*(t^4n-1)/(t^2-1)<2n*(t^4n-1)
→t*Σ[k=1,2n]t^(2k-2)<2n*(e-1) (等比数列の和の公式)
→Σ[k=1,2n]t^(2k-1)/2n<e-1
→与不等式
0451１３２人目の素数さん
2007/12/16(日) 19:11:081+{Σ[k=1,2n]e^{(2k-1)/4n}}/2n = 1 + (e-1)x/sinh(x)
よって、x ＞ 0 (x≦1/4) で x≦sinh(x)、つまり f(x)=sinh(x)-x ＞ 0 を示せばよい。
0452１３２人目の素数さん
2007/12/16(日) 19:30:37exp(k/2n) - exp((k-1)/2n)
= exp((2k-1)/4n){exp(x) - exp(-x)} (x=1/4n)
= exp((2k-1)/4n)･2sinh(x),
辺々たして
e - 1 = 2sinh(x)Σ[k=1,2n] e^((2k-1)/4n)),
でつね。
平均値の定理より
f(x) = x･cosh(ξ) -x = 2x･sinh(ξ/2)^2 > 0,
0453１３２人目の素数さん
2007/12/16(日) 19:34:19ただし、1ステップとは(x,y)にいるときに(x,y)→(x±1,y) or (x,y±1) のように移るものとする。
例 P_2(1,1)=2, P_2(0,0)=4
このときP_n(k,0) (0≦k≦n)は平方数になることを証明せよ。
0455１３２人目の素数さん
2007/12/16(日) 20:17:33P_n(k,0) = C[n, (n-k)/2]^2とはなったけど、自信が無い。
というのは、P_3(1,0)の場合で検算したら、経路の数が8本しか見つけられなかった。
0456455
2007/12/16(日) 20:21:150457１３２人目の素数さん
2007/12/16(日) 23:28:56>>436
0458１３２人目の素数さん
2007/12/16(日) 23:37:060459１３２人目の素数さん
2007/12/16(日) 23:40:46減点覚悟ならいいがなw
0460１３２人目の素数さん
2007/12/16(日) 23:43:460461１３２人目の素数さん
2007/12/17(月) 00:00:050463１３２人目の素数さん
2007/12/17(月) 00:04:03名無しのますだにレスするアホ
0464１３２人目の素数さん
2007/12/17(月) 00:21:10俺ED
傷ついた
責任取れ
0465１３２人目の素数さん
2007/12/17(月) 00:21:560466406
2007/12/17(月) 00:28:29用意した解答は px^2 + 2qxy + ry^2 ≧ 0 の必要十分条件が
p ≧ 0, r ≧ 0, q^2 - pr ≦ 0 であることを証明して使う。
つまるところ>>436の言う判別式2回なんだが、
これを必要十分に正しく議論するのは高校生だと結構大変かと。
というかこれの証明だけで阪大くらいの入試問題にできると思う。
0467１３２人目の素数さん
2007/12/17(月) 00:44:29傾きが-1で接する c = (13±√601)/12 が存在して、
c = (13+√601)/12 = 3.1262751120… のとき接点(b,b)
b = (-23-√601)/72 = -0.6599347408…,
c = (13-√601)/12 = -0.9596084453… のとき接点(b,b)
b= (-23+√601)/72 = 0.0210458520…,
0468MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/17(月) 01:17:53a[n]={(q-p)/2n}Σ[k=1,2n]f({(4n-2k+1)p+(2k-1)q}/4n)
このとき，
a[n]＜∫[p,q]f(x)dx
を示せ．
※>>442はこの不等式で(p,q)=(0,1)，f(x)=e^xとしたものです．
0469１３２人目の素数さん
2007/12/17(月) 03:00:56区間[p,q]を2n等分し、x[k] = {(2n-k)p + kq}/2n, とおく。 x[0] =p, x[2n] =q,
区間の中央を c[k] = (x[k-1]+x[k])/2 とする。 f,f 'の符号は問わない。
x≠c のとき、平均値の定理より
f(x) = f(c) + (x-c)f '(ξ), (x-c)(ξ-c)>0,
題意より f ">0 だから、再び平均値の定理より
(x-c){f '(ξ) - f '(c)} = (x-c)(ξ-c)f "(η) > 0,
∴ f(x) > f(c) + (x-c)f '(c), (x≠c)
両辺を x[k-1]～x[k] で積分すると、
∫[x[k-1],x[k]] f(x)dx > {x[k]-x[k-1]}f(c) = ((q-p)/2n)f(c),
k=1～2n まで辺々たす。
0470１３２人目の素数さん
2007/12/17(月) 10:41:32地道に計算するとおそらく
P_n(x,y) = C[n,(n-x-y)/2]*C[n,(n-x+y)/2] (x+y≡n (mod2)かつ|x|+|y|≦n)
=0 (上記のx,y以外)
となるようですが証明は簡単ですか？
0471MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/17(月) 13:15:09a[n]=(1/n)Σ[k=1,k]f(k/n)
b[n]=∫[1/(2n),1+1/(2n)]f(x)dx
(1) lim[n→∞]n(a[n]-b[n])を求めよ．
(2) lim[n→∞](n^2)(a[n]-b[n])の収束・発散を調べよ．
0472１３２人目の素数さん
2007/12/17(月) 15:00:00ac+ad+bc+bd=(a+b)(c+d).
0473１３２人目の素数さん
2007/12/17(月) 18:32:57P_n(x,y)=P_(n-1)(x-1,y)+P_(n-1)(x,y-1)+P_(n-1)(x,y+1)+P_(n-1)(x+1,y)
と帰納法で一発ですね。
あと、C[n,(n-x-y)/2]*C[n,(n-x+y)/2]となる単純な組合せ的な意味がある
はずなんですがわからない。。
0474１３２人目の素数さん
2007/12/17(月) 19:12:40x 軸の負の向きまたは y 軸の負の向きへ進む数は k となり、
x 軸の負の向きまたは y 軸の正の向きへ進む数は y+k となる。
n 個から k 個の部分集合 A をとり、n 個から y+k 個の部分集合 B を取ったとき、
A∩B のところでは x 軸の負の向き、A^c∩B のところでは y 軸の正の向き、
A∩B^c のところでは y 軸の負の向き、A^c∩B^c のところでは x 軸の正の向き
に進めば、(x,y) に到達する。
0475１３２人目の素数さん
2007/12/17(月) 21:00:00b=(-1/2,1/2).
(-1,0)=-a+b.
(0,-1)=-a-b.
(0,1)=a+b.
(1,0)=a-b.
(x,y)=(x+y)a+(-x+y)b.
n=3.
1
3 3
3 9 3
1 9 9 1
3 9 3
3 3
1
1 3 3 1
3 9 9 3
3 9 9 3
1 3 3 1
0476１３２人目の素数さん
2007/12/18(火) 13:02:050477MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/18(火) 16:03:46(2) p,q,rは，どの2つも互いに素な正の整数とする．
√n+√{n+(3^p)(5^q)(7^r)}
が有理数となるような正の整数nの個数をp,q,rで表せ．
※どちらかというと京大向けですけどね．
0478１３２人目の素数さん
2007/12/18(火) 17:16:47dの最大値を d_max(n) とする。
d_max(3) 及び d_max(4) を求めよ。
0479１３２人目の素数さん
2007/12/18(火) 21:26:42d_max(4)=1
0480１３２人目の素数さん
2007/12/18(火) 22:54:48最近あった京大実戦よりはるかにむずいわけだが
0481MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/18(火) 23:09:58最初は√n+√(n+45)にするつもりだったんですが，それだとこのスレの方々には易しかろうと思い，一般化させました．
0482１３２人目の素数さん
2007/12/19(水) 01:55:330483１３２人目の素数さん
2007/12/19(水) 02:05:16問題は面白いからありがたいけど、叩かれすぎて泣くなよwww
0484１３２人目の素数さん
2007/12/19(水) 07:42:180485MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/19(水) 09:57:35ここはいい出題実験場ですしね．それに某氏に比べたら叩かれてるうちにも入りません．
0486１３２人目の素数さん
2007/12/19(水) 10:21:250487１３２人目の素数さん
2007/12/19(水) 10:44:110488１３２人目の素数さん
2007/12/19(水) 10:49:3704891stVirtue ◆.NHnubyYck
2007/12/19(水) 10:56:100490１３２人目の素数さん
2007/12/19(水) 11:18:540491MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/19(水) 15:19:58(a[1],0,0)，(a[2],0,0)，
(0,a[3],0)，(0,a[4],0)，
(0,0,a[5])，(0,0,a[6])
とする．Σ[k=1,6](a[k])^2をr,s,t,uを用いて表せ．
0492１３２人目の素数さん
2007/12/19(水) 15:25:50その切断面の面積の最小値m(a)，最大値M(a)を求めよ．
0493MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/19(水) 16:25:17私のサイトの問題のコピペですね．
0494１３２人目の素数さん
2007/12/19(水) 20:18:23kingは既にされているので100%
0495１３２人目の素数さん
2007/12/19(水) 21:09:43(1)逆数も有理数となって√a-√bとなることを利用。
(2)2^□が含まれてないこと、p,q,rが全て偶数となることはないこと
から3^p*5^q*7^rの約数の半分個で、(p+1)(q+1)(r+1)/2
>>491
ただの計算問題？なんか不安だが
(3r^2-s^2-t^2-u^2)*2
0496１３２人目の素数さん
2007/12/19(水) 21:59:58この四面体の体積をVとするとき
lim[θ→0] V
を求めたい。以下の[解答]の続きを埋めよ。
[解答]なん
0497１３２人目の素数さん
2007/12/19(水) 22:05:290498１３２人目の素数さん
2007/12/19(水) 22:28:17１
OA=4√3 はとって付けた感あり。
簡単杉。
0499MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/20(木) 01:18:290500１３２人目の素数さん
2007/12/20(木) 02:09:360501MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/20(木) 10:18:040502MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/20(木) 18:55:520503１３２人目の素数さん
2007/12/20(木) 19:38:36{(1+i√3)/2}^C[n,k]
が実数となるようなすべてのnの集合をA[k]とする．A[k]の要素を小さいものから並べると等差数列になるためのkのみたすべき条件を求めよ
0504MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/20(木) 19:58:58私のサイトからコピペするなとは言いませんが，何が目的ですか？もし分からないなら質問板に書き込んでは？
0505１３２人目の素数さん
2007/12/20(木) 20:34:44フェルマーの小定理と、4^(偶数)≡1 mod5 からnが正整数の場合は示される。
>>502
√13
0506MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/20(木) 20:39:49御名答．
0507１３２人目の素数さん
2007/12/21(金) 09:23:50線分AP,AQ,ADの長さが整数であるとき,線分の長さの和 AP+AQ+AD を求めよ.
ただし,点P,Q,Dはそれぞれ相異なる点とする.
0508１３２人目の素数さん
2007/12/21(金) 09:29:330509１３２人目の素数さん
2007/12/21(金) 10:14:40ミス東大で、大天才だから、当然エリートコース一直線よ！
東大に入れないような馬鹿は、生きてる価値ないから早く死になさい！
それから、私こじきも大嫌い！
http://blog.livedoor.jp/mikisandesu816/archives/386031.html
2007年11月11日
こじき
インドの屋台グルメは基本カレー味でまずいので口にしないのですが、きのうカレーじゃないの見つけました
衣なしじゃがいもコロッケ
普通はカレーをつけて食べるからやっぱりカレーやねんけど、塩コショウで食べれば、擬似衣ついてないコロッケ！！
８ルピーだったので食べてみたんやけど、やっぱりしつこいから半分でもういらんと思って、捨てようかどーしようか迷ったけど、やっぱりもったいないからこじきに与えようと思って、こじき探してたら、こうゆう時に限ってこじきに出会わない
いつもはそこらじゅうにいるくせに、今日だけいないの
で ようやく見つけた子供のこじきにコロッケあげるよって言ったら
拒否･･･
いらんって
せっかく恵んでやろうと思ったのに
ってか いつも食べ物くれって言ってくるくせに
こじきのくせに
0510１３２人目の素数さん
2007/12/21(金) 10:20:13東大生にもブログが公の場に公開されているという実感の持てない奴がいるんだな
0511１３２人目の素数さん
2007/12/21(金) 10:54:25高島美紀ってこんな女だったのかwww
クズすぐるwww
0512１３２人目の素数さん
2007/12/21(金) 11:49:0610^n - 1 が 9^k で割り切れる最大数 k
0513１３２人目の素数さん
2007/12/21(金) 14:47:45記事削除したみたいだね
http://blog.m.livedoor.jp/mikisandesu816/index.cgi
0514１３２人目の素数さん
2007/12/21(金) 15:10:42ケンタッキーやら吉野家やらバーミアンよりはマシだな
0515１３２人目の素数さん
2007/12/21(金) 20:50:321985年生まれ
mixiネーム：ファンディングニソ
兵庫県西宮市出身
神戸女学院高校卒
東大文II後期合格
2004年ミス東大
19歳時に未成年飲酒(日記あり)
財務省内定
0516１３２人目の素数さん
2007/12/21(金) 21:30:10{1,2,…,n}の変換fが次の(1),(2)を満たすとする。
(1)任意のj(1≦j≦n)に対して、f(i)=jとなるi(1≦i≦n)が存在する。
(2)1≦i,j≦nがi≠jならば、f(i)≠f(j)
このとき、ある自然数kが存在して、任意のm(1≦m≦n)に対して、f^k(m)=mが成り立つことを示せ。
ただし、iにfをk回施したものをf^k(i)と書くとする。
0517１３２人目の素数さん
2007/12/22(土) 13:23:15Ａが右回りに動き、Ｂが左周りに動き、Ｃが右回りに三分の二、左回りに三分の二だけ
動くものとする。
このとき、三角形ＡＢＣの最大値と最小値を求めよ。
0518１３２人目の素数さん
2007/12/22(土) 13:24:11１<<a<<ｎ
1<<b<<３
1<<c<<ｍ
のとき、正三角形の面積の和、Ａ＋Ｂ，Ｂ＋Ｃ、Ｃ＋Ａのうち、
最大のものと、最小のものを求めよ。
0519１３２人目の素数さん
2007/12/22(土) 13:25:50存在している。
正方形ＡＢＣＤが任意の実数の範囲で、拡大を続けているとする。
このとき、円Ｐ、Ｑ、Ｒの面積も拡大を続けるが、
この面積の拡大を止めるための必要十分条件を求めよ。
0520１３２人目の素数さん
2007/12/22(土) 14:02:23原点Ｏとの間にできる三角形をＯＡＢとする。
５００＜ｍ＜６００
７００＜ｎ＜８００
９００＜ｌ＜１０００
１１００＜ｋ＜１２００
とし、ｍ，ｎ，ｌ，ｋがこの範囲で任意の実数をとるとき、
角ＯＡＢが３０度、角ＡＯＢが６０度になるための
必要十分条件を求めよ。
0521１３２人目の素数さん
2007/12/22(土) 15:55:03ますだとはまた違った頭痛のする問題文だな
0522MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/22(土) 23:14:27n回反射して点Cに到達するとき，nのとりえない正の整数値をすべて求めよ．
0523１３２人目の素数さん
2007/12/22(土) 23:55:33X∈AD ⇒ cot(∠XBC) = AX,
tan(∠PBC + ∠QBC + ∠DBC) = (AQ･AD +AD･AP +AP･AQ -1) / (AP･AQ･AD -AD -AP -AQ),
題意より tan(∠PBC + ∠QBC + ∠DBC) = tan(π/4) = 1,
(AQ･AD +AD･AP +AP･AQ -1) / (AP･AQ･AD -AD -AP -AQ) = 1,
∴ (AP,AQ,AD) = (2,4,13) or (2,5,8).
* (3,3,7) は 題意により 不適。
【tanの加法公式】
tan(α+β+γ) = (tanα + tanβ + tanγ - tanα･tanβ･tanγ)/(1 - tanα･tanβ - tanβ･tanγ - tanγ･tanα)
= (cotβ･cotγ + cotγ･cotα + cotα･cotβ -1) / (cotα･cotβ･cotγ - cotγ - cotα - cotβ),
0524１３２人目の素数さん
2007/12/23(日) 00:58:30反射の条件は？
0525MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/23(日) 01:13:24光が鏡に反射するのと同じです．
0526１３２人目の素数さん
2007/12/23(日) 01:16:200527MATSUDA
2007/12/23(日) 02:29:52π = 4arctan(1/AP) + 4arctan(1/AQ) + 4arctan(1/AD),
を用いて, πの近似値を 小数点以下4桁目まで 求めよ。
〔参考〕
arctan(x) = ∫[0,x] dt/(1+t^2) = Σ[k=0,∞) {(-1)^k}∫[0,x] t^(2k)dt = Σ[k=0,∞) (-1)^k･{1/(2k+1)}x^(2k+1),
0528MASUMI◇5cS5q0HgH3M
2007/12/23(日) 03:55:350529１３２人目の素数さん
2007/12/23(日) 08:45:49制限付きカタラン予想
(n,p,q) = (2,2,3) (n,1,1) (1,1,q)
H.B.Yu による初等的な証明(1999) が↓にある。
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1122121499/47-49
カタラン予想スレ
数セミ, Vol.３８, No.6, 通巻453号, 日本評論社 (1999/06)
0530１３２人目の素数さん
2007/12/23(日) 17:50:10{1,2,…,n}の変換fが次の(1),(2)を満たすとする。
(1)任意のj(1≦j≦n)に対して、f(i)=jとなるi(1≦i≦n)が存在する。
(2)1≦i,j≦nがi≠jならば、f(i)≠f(j)
このとき、ある自然数kが存在して、任意のm(1≦m≦n)に対して、f^k(m)=mが成り立つことを示せ。
ただし、iにfをk回施したものをf^k(i)と書くとする。
0531１３２人目の素数さん
2007/12/23(日) 18:14:442回も出すなよｗ必死かｗ
背理法で瞬殺
てか同じ問題を大学入試で見たことある
0532１３２人目の素数さん
2007/12/23(日) 19:45:45１つの正6角形の中心を原点(0,0)とする。各頂点は
r↑ = h*(1,0) + k*(-1/2,-(1/2)√3) +L*(-1/2,-(1/2)√3),
ただし h,k,Lは整数で、h+k+L は3で割り切れない。
r^2 = h^2 +k^2 +L^2 -hk -kL -Lh,
頂点を通る同心円の半径をrとすると、
r=1 (6点)
r=2 (6点)
r=√7 (12点)
r=√13 (12点)
r=4 (6点)と r=√19 (12点) … 不可
より
R=√13,
>>503
C[n,k] ≡ r (mod 6) とすると
(与式) = exp(iπ/3)^C[n,k] = exp(iπr/3),
0533１３２人目の素数さん
2007/12/23(日) 20:21:260534１３２人目の素数さん
2007/12/23(日) 20:31:191+1/2+1/3+…1/n
が整数とならないことを示せ。
0535１３２人目の素数さん
2007/12/23(日) 21:07:15>>533 高校レベルで溶けるか？
0536１３２人目の素数さん
2007/12/23(日) 21:10:352部分積分法が正しいことを証明せよ。
今の受験テクだけのゆとりだと正答率低そう。
0537MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/23(日) 22:00:12x＞0，xyz=1
xy+3yz+zx=1
をみたすとき，y+zのとりうる値の範囲を求めよ．
>>536氏に便乗．
私のサイトでこれ出したら誤答続出でした．東大でこれを出題しても十分試験になりそうです．
0538１３２人目の素数さん
2007/12/23(日) 22:04:510539１３２人目の素数さん
2007/12/23(日) 22:27:33「入試作問者になったつもりのスレ」
↑読める？ひらがなで書いた方がいいかしら？
ポアンカレとかフェルマー出してるのお前か？
0540１３２人目の素数さん
2007/12/23(日) 22:29:10xy+3yz+zx=1にx=1/yz代入
1/z+3yz+1/y=1
y+z+3y^2z^2=yz
y+z=yz(1-3yz)
yz>0よりy+zの範囲は
w(1-3w) (w>0)の値域に等しい。
よって、求める値の範囲は1/12以下
0541１３２人目の素数さん
2007/12/23(日) 22:38:59y,zが実数にならない範囲を含んでる。
0542MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/23(日) 23:06:53それ，典型的誤答例です．
0543１３２人目の素数さん
2007/12/23(日) 23:23:27f(w) = (w-p)(w-y)(w-z) = w^3 -(p+q)w^2 + w/3 -1/3
とおき、f(w)=0の三つの解が全て実数で、一つ以上は正の解を持つ。
0544１３２人目の素数さん
2007/12/24(月) 00:43:11{1,2,3,…,n} のうち、最も高い2-ベキを因数にもつものは、m = 2^[log(n)/log(2)] の1個だけである。(*)
∴ m以外の要素はすべて L = LCM(2,3,…,n)/2 を割り切るが、mはLを割り切らない。
∴ 与式に L を掛けると、 (L/m) + (整数),
* これが成立つのは2-ベキに限る。p-ベキでは(p-1)個まで許される。
0545１３２人目の素数さん
2007/12/24(月) 00:47:441合成関数の公式って何
0546１３２人目の素数さん
2007/12/24(月) 00:51:31正確にはわからんけど。
0547１３２人目の素数さん
2007/12/24(月) 00:51:32f(g(x))'=f'(g(x))*g'(x)のこと。
0548１３２人目の素数さん
2007/12/24(月) 01:00:000549１３２人目の素数さん
2007/12/24(月) 01:07:07条件式より
y+z = (x-3)/(x^2),
yz = 1/x,
y,z∈R となる条件は、判別式
D = (1-x)(4x^2+3x+9)/(x^4) ≧ 0,
題意より x>0 だから 0<x≦1,
∴ y+z = (x-3)/(x^2) ≦ -2,
0550１３２人目の素数さん
2007/12/24(月) 01:18:46いや俺はただ、「東大入試に出しても、解けない奴がいそう」な基本事項・基礎事項を挙げるのが
このスレの魅力ではないと言いたいだけだぞ。
東大ならではの気合いの入った問題を見たい。
合格者選抜がこのスレの目的ではないだろ。
0551549
2007/12/24(月) 01:19:332次方程式
f(w) = w^2 - {(x-3)/x^2}w + (1/x) =0,
が実根をもつことを使いマスダ。
0552MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/24(月) 01:25:340553１３２人目の素数さん
2007/12/24(月) 04:52:3810^k-1 が 9^n で割り切れるような最小の k を求めればよい。
10^k-1 の各桁の和は 9k だから 9k = 9^n で k が最小。
∴ k = 9^(n-1) が (1/9)^n の循環節の長さ。
0554１３２人目の素数さん
2007/12/24(月) 05:53:33全然違う
0555１３２人目の素数さん
2007/12/24(月) 13:32:59u=f(x)
y=g(u)のとき
Δy=g(u+Δu)-g(u)
Δu=f(x+Δx)-f(x)
Δu≠0で考えると（これが0のときは高校範囲を超えるので略）
Δx→0⇒Δu→0⇒Δy→0であり
Δy/Δx=(Δy/Δu)*(Δu/Δx) この両辺の極限を取って…
0556１３２人目の素数さん
2007/12/24(月) 14:58:33I[n]=∫[0,π/2](cosθ)^ndθ
J[n]=∫[0,∞]x^n*e^(-x^2)dx
とおく。ただし、∫[0,∞]f(x)dx=lim[a→∞]∫[0,a]f(x)dxであるものとする。
Ⅰ I[n]をI[n-2]で表し、I[n]は減少数列であることを証明せよ。
Ⅱ lim[m→∞](√mC[2m,m])*(1/4)^mを求めよ。
Ⅲ J[n]をJ[0]で表せ。
Ⅳ ∫[0,∞]e^(-x^2)dxの値を求めよ。
0557１３２人目の素数さん
2007/12/24(月) 15:53:160558１３２人目の素数さん
2007/12/24(月) 15:55:43ⅠとかⅡとかの出題の仕方が東大の理科っぽくていいな
0559泉 こなた
2007/12/24(月) 20:55:060560１３２人目の素数さん
2007/12/24(月) 22:25:17数学スレなのに
なんでイブに過疎ってんだよ
ちくしょーorz
0561１３２人目の素数さん
2007/12/24(月) 23:11:53でもそんなのかんけーねぇ！
0562１３２人目の素数さん
2007/12/24(月) 23:13:20俺は一人です。
でもイブです。
0563１３２人目の素数さん
2007/12/24(月) 23:44:180564１３２人目の素数さん
2007/12/24(月) 23:57:270565１３２人目の素数さん
2007/12/25(火) 00:24:590566１３２人目の素数さん
2007/12/25(火) 00:48:38複素数の和の規則をそう定めたんだからできるんじゃないの
0567１３２人目の素数さん
2007/12/25(火) 00:58:000568１３２人目の素数さん
2007/12/25(火) 03:01:08和の規則って何？
例えば 1+i の意味づけをしないといけないのでFA？
0569１３２人目の素数さん
2007/12/25(火) 09:19:540570東大
2007/12/25(火) 14:10:58発言を書き込んだことからコメント欄が大炎上。気になる投稿内容はインドでのできごとを書いたもの。
下記がそのブログの記事内容だ。
こじき探してたら、こうゆう時に限ってこじきに出会わない
いつもはそこらじゅうにいるくせに、今日だけいないの
で ようやく見つけた子供のこじきにコロッケあげるよって言ったら
拒否･･･
いらんって
せっかく恵んでやろうと思ったのに
ってか いつも食べ物くれって言ってくるくせに
こじきのくせに
（※一部引用）
……元ミス東大とは思えない乱暴な文章とその内容。コメントにも以下のような批判が相次いでいる。
0571１３２人目の素数さん
2007/12/25(火) 14:25:05そもそも実数があって、その２つの組(a,b),(c,d)に対して、
(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)と定めたんだよ
(積は(a,b)･(c,d)=(ac-bd,ad+bc)と定義)
実数の和はwell-definedだから、この和というのが定義される
で、この組の第一成分を実部、第二成分を虚部ということにして、
(a,b)をa+ibと書くことにしたのが複素数
0572１３２人目の素数さん
2007/12/25(火) 18:43:49要は同一視の部分をどう切り抜けるかだな。
0573１３２人目の素数さん
2007/12/25(火) 23:11:31同一視なんて切り抜けるも何も自然な同型写像があるだろ
実数と純虚数の和は(a,0)+(0,b)だから普通に計算できるのは当たり前
この和がwell-definedなんだから何故もへったくれもない
糸冬 了
0574１３２人目の素数さん
2007/12/25(火) 23:15:230575１３２人目の素数さん
2007/12/25(火) 23:53:55答えきぼん
0576１３２人目の素数さん
2007/12/25(火) 23:55:120577１３２人目の素数さん
2007/12/26(水) 00:01:51>>567
>>572
>>574
>>576
じゃ、どういうことかしっかりと説明してもらおうかな
レベルがどうのとか理解できてないとか言ってるし
さぞかし立派な説明なんだろうな
期待してるぜ
0578MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/26(水) 00:03:01x+y+z=0
n≦|x|≦2n，n≦|y|≦2n，n≦|z|≦2n
n≦|x-p|≦2n，n≦|y-q|≦2n，n≦|z-r|≦2n
このとき，極限値lim[n→∞]N(n)/(n^2)を求めよ．
0579１３２人目の素数さん
2007/12/26(水) 00:06:05ヒント：釣り
0580MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/26(水) 00:07:29大学入試の答案であれば上の方々の説明で十分ですよ．教科書にはそれ以上のことは書いていません．
もっとつっこんだ答えを要求するのはスレ違いというものです．
0581１３２人目の素数さん
2007/12/26(水) 00:53:28ごめん。
C×C→Cの写像？
0582１３２人目の素数さん
2007/12/26(水) 02:07:18I.
I[n] = ∫[0,π/2] (cosθ)^n dθ = ∫[0,π/2] {(cosθ)^(n-1)}cosθ dθ
= [ (cosθ)^(n-1)･sinθ ](0～π/2) + (n-1)∫[0,π/2] {(cosθ)^(n-2)}(sinθ)^2 dθ
= [ (cosθ)^(n-1)･sinθ ](0～π/2) + (n-1){I_(n-2) - I_n},
I[n] = {(n-1)/n}I_(n-2),
0 ≦ cosθ ≦ 1 より、単調減少。
I[0] = π/2, I[1] = 1,
II.
n*I[n-1]*I[n] = I[0]*I[1] = π/2 ゆえ
(√m)*I[2m] → (√π)/2,
I[2m] = (2m-1)!!/(2m)!! = (2m)!/((2m)!!)^2 = {(2m)!/(m!)^2}*(1/4)^m = C[2m,m]*(1/4)^m,
III.
x=√y とおいて、
J[n] = (1/2)∫[0,∞) y^((n-1)/2) exp(-y) dy = (1/2)Γ((n+1)/2),
J[2m+1] = (1/2)Γ(m+1) = (1/2)m!,
J[2m] = {(2m-1)!!/(2^m)}J[0],
IV.
J[0] = (√π)/2,
0583１３２人目の素数さん
2007/12/26(水) 03:03:14x+y+z=0
n≦|x|≦2n，n≦|y|≦2n，n≦|z|≦2n
を満たすx,y,zの段階で6通りしかないので
求める極限は0
0584１３２人目の素数さん
2007/12/26(水) 05:25:52で思い出したけどますださんのサイトにあったこの式の変形がうまく出来ないんですが。。
C(n,1)/1 - C(n,2)/2 + C(n,3)/3 - C(n,4)/4 + … + (-1)^(n-1)C(n,n)/n
= Σ[r=1,n](-1)^(r-1)C(n,r)/r
= Σ[r=1,n]1/r=1+1/2+1/3+..1/n=H(n)
0585MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/26(水) 10:23:55あー，正解ですなあ．拡張したときの条件変え忘れてました．
0586１３２人目の素数さん
2007/12/26(水) 11:06:48それ，式が違いますよ．
Σ[k=1,n]{(-1)^(k-1)}C[n-1,k-1]/k=1/n
です．
0587１３２人目の素数さん
2007/12/26(水) 11:07:56どんまい
0588MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/26(水) 11:08:240589１３２人目の素数さん
2007/12/26(水) 11:18:20Σ[k=1,n]{(-1)^(k-1)}C[n-1,k-1]/k=1/n は出来たのですが
>>588
裏技
http://83.xmbs.jp/n2.php?ID=checkmath&c_num=2584&no=25926&view=1&page=10
■13．調和数列和
【13-1】
C[n,1]/1 - C[n,2]/2 + C[n,3]/3 - C[n,4]/4 + … + (-1)^(n-1)C[n,n]/n
= Σ[r=1,n](-1)^(r-1)C[n,r]/r
= Σ[r=1,n]1/r
の方です。
0590１３２人目の素数さん
2007/12/26(水) 12:42:460591１３２人目の素数さん
2007/12/26(水) 14:41:32やってみました。
x^n=(x-1+1)^n =Σ[k=0,n] (x-1)^k *C(n,k)=1+Σ[k=1,n] (x-1)^k *C(n,k)
x^n-1=Σ[k=1,n] (x-1)^k *C(n,k)
両辺をx-1で割って
1+x+x^2+...+x^(n-1)=Σ[k=1,n] (x-1)^(k-1) *C(n,k)
両辺を積分して
c+x+x^2/2+...+x^n/n =Σ[k=1,n] (x-1)^k *C(n,k)/k
x=1 を代入すると -c=H(n)
x=0 を代入して H(n)=Σ[k=1,n] (-1)^(k-1) *C(n,k)/k
0592１３２人目の素数さん
2007/12/26(水) 15:18:31(ⅰ) (-1)a=-a (ⅱ) a0=0a=0
を証明せよ。
0593１３２人目の素数さん
2007/12/26(水) 15:28:43だからさ、そういう問題は他でやれ、な。
0594１３２人目の素数さん
2007/12/26(水) 15:31:440595１３２人目の素数さん
2007/12/26(水) 18:19:59原題お願いします
0596MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/26(水) 18:55:31p,q,rはp+q+r=0をみたす整数の定数，nは正の整数とし，以下の条件全てをみたす整数(x,y,z)の個数をN(n)と表す．
x+y+z=0
|x|≦n，|y|≦n，|z|≦n
|x-p|≦n，|y-q|≦n，|z-r|≦n
このとき，極限値lim[n→∞]N(n)/(n^2)を求めよ．
たぶんこれでいいはずです．
0597１３２人目の素数さん
2007/12/26(水) 21:05:25(1)Σ[r=0~n]{C[n,r]/(r+2)}
(2)Σ[r=1~n]{C[n,r]/r}
0598１３２人目の素数さん
2007/12/26(水) 21:09:540599１３２人目の素数さん
2007/12/26(水) 22:45:53(1) x(1+x)^n を二項展開して両辺をx=0～1で定積分すれば
(1 + n*2^(n+1))/((n+1)(n+2))
(2) (x-1+1)^nを二項展開して定数項を移項してから両辺をx-1で割ってx=1～2で定積分すれば
Σ_[k=1,n](2^k-1)/k
0600１３２人目の素数さん
2007/12/27(木) 12:10:26これ本当に求まるのか？
0601１３２人目の素数さん
2007/12/27(木) 12:16:57を、納得できるように証明しなさい。
0602１３２人目の素数さん
2007/12/27(木) 12:29:01(-1)(1+(-1))=(-1)*0=0
(-1)(1+(-1))=-1+(-1)(-1)
∴-1+(-1)(-1)=0
∴(-1)(-1)=1
0603ＺＥＵＳ
2007/12/27(木) 13:21:57クラシックを聞きながら数学の問題を解くと良い。
0604１３２人目の素数さん
2007/12/27(木) 13:53:390605１３２人目の素数さん
2007/12/27(木) 13:56:170606１３２人目の素数さん
2007/12/27(木) 13:58:08答えはNOだとわかってるのに…
0607１３２人目の素数さん
2007/12/27(木) 14:03:08超越数なんて高校で習うわけねえだろ
0608１３２人目の素数さん
2007/12/27(木) 14:17:290609１３２人目の素数さん
2007/12/27(木) 14:30:23短気は損気と言いますよ
0610１３２人目の素数さん
2007/12/27(木) 14:37:07アホに付き合うほど暇じゃないんだよこっちは
0611MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/27(木) 15:52:24(1) (p+1)^p-1はp^2で割り切れることを示せ．
(2) (p+1)^p-1がp^3で割り切れるようなpを全て求めよ．
0612１３２人目の素数さん
2007/12/27(木) 16:40:321(p+1)^p-1=馬=1～p pCnp^n より、p^2 で割り切れる。
2 1のn=3～以降は全てp^3で割り切れる。∵nCp∈N
よって1項目+2項目=(1/2)p^2(p^2-p+2)がp^3で割り切れればいい。
(1/2)p^2(p^2-p+2)/p^3=(1/2)(p-1+2/p)∈Z
∴ p=2
0613１３２人目の素数さん
2007/12/27(木) 20:20:13このときLim_（n→∞）a_nを求めよ。
0614１３２人目の素数さん
2007/12/27(木) 21:06:001/e
0615１３２人目の素数さん
2007/12/27(木) 22:51:270616１３２人目の素数さん
2007/12/28(金) 00:17:480617１３２人目の素数さん
2007/12/28(金) 00:28:42140
0618MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/28(金) 01:58:09lim[x→∞]{f(x+1)-f(x)}x^tが0以外の値に収束するような実数tの値を求め，また，極限値を求めよ．
0619１３２人目の素数さん
2007/12/28(金) 02:06:130621１３２人目の素数さん
2007/12/28(金) 02:41:370622１３２人目の素数さん
2007/12/28(金) 04:59:47このとき、任意のp,q,nに対し、│p^n-q^n│が素数となることはあるか？
0623１３２人目の素数さん
2007/12/28(金) 09:18:580624１３２人目の素数さん
2007/12/28(金) 09:38:27任意のp,q,nに対し、│p^n-q^n│が素数となることはない
0625１３２人目の素数さん
2007/12/28(金) 10:28:08I[n]=∫[0,x]{t^n*e^(-t)}dtとする。
Ⅰ I[n+1]とI[n]の関係式を導け。
Ⅱ a>0のとき、lim[n→∞]{a^n/(n!)}を求めよ。
Ⅲ e^x=Σ[n=0~∞]{x^n/(n!)}を示せ。
0626MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/28(金) 11:01:02予備校では京大対策をメインでやってましたから．それに私は東大っぽい問題ではあまり難問がつくれないので出しても面白くないと思いますよ．
0627１３２人目の素数さん
2007/12/28(金) 11:44:47>>611
どう見ても京大チック
0628１３２人目の素数さん
2007/12/28(金) 11:50:26ありきたりすぎる
冬休みの宿題か？
0629１３２人目の素数さん
2007/12/28(金) 12:15:16t=2で1/2に収束
0630１３２人目の素数さん
2007/12/28(金) 13:03:380631１３２人目の素数さん
2007/12/28(金) 13:04:14>>611はモロに京大ですが，>>596は東大チックにしたつもりですが．97年後期１番を真似た問題なんですけど．
>>629
御名答．
0632MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/28(金) 13:04:540633１３２人目の素数さん
2007/12/28(金) 23:11:16同じ整数の個数数えさせるのでも、京大は不等式で出すし、東大は座標の格子点で出す。
象徴的な言い方をすればそういうことだ。
それに東大は一般的な状況ではなく、特殊な状況、
特に、解答が美しく推移するように数字や式が操作されている。
その事実はMASUDAさんも認識しておられると思うけど。
0634１３２人目の素数さん
2007/12/28(金) 23:16:04その円内の格子点の個数をN(r)とする。このとき、
lim[r→∞]S(r)/N(r)
を求めよ。
0635１３２人目の素数さん
2007/12/28(金) 23:18:43願わくば、図形問題なんだけど、三角関数や座標使って立式したらあとは3次方程式の解の配置定数分離型、とか、
点が空間を移動して、距離の最小値を求めるんだけど、実は線形計画法、とか、
ベクトルを1次変換で移動させて極限を求めるんだけど、実は区分求積、とか、
トランプゲームの戦略を考えてるんだけど、実は格子点の個数、とか、
そういう問題作ってください！
あと、益田塾の大学別模試とかオリジナル問題のアーカイブ作ってください！
0636１３２人目の素数さん
2007/12/28(金) 23:56:24グラフは原点対象だから、y≧1を考える。
x=t∈N上の格子点の数は
[√(r^2-x^2)]
よって,y≧0の格子点の数をN+(r)とすると
∫-r→ｒ√(r^2-x^2)-1dx＜N+（r）＜∫-r→ｒ（√(r^2-x^2)）dx
πr^2/2-2r＜N+（ｒ）＜πr^2/2
同様にπr^2/2-2r＜N-（ｒ）＜πr^2/2
また、y=0での格子点の個数N0（ｒ）は
2r-1<N0(r)<2r+1 よって以上より
πr^2+A(r)<N(r)<πr^2+B(r) A,B;1次の多項式。
一方S(r)=πr^2
よってlim[r→∞]S(r)/N(r)＝１
0637１３２人目の素数さん
2007/12/29(土) 00:08:52円は原点中心とは言ってないよ
自由に動けるんだよ
そこをどう処理するか
0638MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/29(土) 00:16:440639１３２人目の素数さん
2007/12/29(土) 00:18:55× 2つの放物線C[1]，C[2]が互いの焦点を通過するとき
○ 2つの放物線C[1]，C[2]のそれぞれの頂点が互いの焦点に一致するとき
0640１３２人目の素数さん
2007/12/29(土) 00:21:15よってやはり1に収束するとわかる。 ■
0641１３２人目の素数さん
2007/12/29(土) 00:25:57N(r-1)≦N(r)≦N(r)+2r+1
ではさむ
0642１３２人目の素数さん
2007/12/29(土) 00:40:040643１３２人目の素数さん
2007/12/29(土) 07:39:340644１３２人目の素数さん
2007/12/29(土) 09:52:09まわりくどい
微分の定義を述べよでいいだろ
0645MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/29(土) 16:52:07x=lim[n→∞]Σ[k=0,n](1/10)^(2^k)
とする．
(1) xが無理数であることを示せ．
(2) x^2が無理数であることを示せ．
(3) mを正整数として，x^mが無理数であることを示せ．
0646１３２人目の素数さん
2007/12/29(土) 16:52:41各格子点(m,n)に、正方形領域 D_(m,n) = {(x,y)| m-1/2<x<m+1/2, n-1/2<y<n+1/2} を対応させる。
半径rの円内に格子点がN(r,O)個ある。(rは半径、Oは中心の位置)
これらのDを合併した図形をGとする。
G は半径 r+(1/√2) の円に含まれ、半径 r-(1/√2) の円を含むから、
S(r-1/√2) ≦ N(r,O) ≦ S(r+1/√2),
平面なので S(r) = πr^2,
0647１３２人目の素数さん
2007/12/29(土) 17:01:06x^m=(lim[n→∞]Σ[k=十分大,n](1/10)^(2^k))^m
が、循環しない無限小数だから。
(4)xが超越数であることを示せ。
0648１３２人目の素数さん
2007/12/29(土) 17:23:090649１３２人目の素数さん
2007/12/29(土) 17:34:02a, b, cと整数と四則演算のみでできた、この式と同値な式を求めてください。
0650１３２人目の素数さん
2007/12/29(土) 17:50:330651MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/29(土) 18:03:32証明になってません．
ちなみに超越数は高校範囲外です．
0652１３２人目の素数さん
2007/12/29(土) 18:11:17慌てずに落ち着いて。
0653１３２人目の素数さん
2007/12/29(土) 18:31:41餅つけ、兄者。
27abc < (c-a-b)^3,
恒等式
(-A)^3 +(-B)^3 +C^3 -3(-A)(-B)C = (C-A-B)M,
M = (-A)^2 +(-B)^2 +C^2 -AB +BC +CA = (1/2){(A-B)^2 +(B+C)^2 +(C+A)^2} >0,
より、
(-A)^3 +(-B)^3 +C^3 -3(-A)(-B)C >0 ⇔ C-A-B >0,
0654１３２人目の素数さん
2007/12/29(土) 19:11:43加法定理を示せって問題で「加法定理より成立」って答えるのと一緒だなwww
0655１３２人目の素数さん
2007/12/29(土) 23:50:06http://83.xmbs.jp/checkmath/
か？
0656１３２人目の素数さん
2007/12/30(日) 00:08:39まあ実際ニュー即の影響力は馬鹿には出来ないよ
ねらーの中でも特にニュー速民は匂いが違うしな。
何というか…”本質”みたいな物が見えているよね、ニュー速民は…
0657１３２人目の素数さん
2007/12/30(日) 00:22:14何それ？
0658１３２人目の素数さん
2007/12/30(日) 00:37:460659１３２人目の素数さん
2007/12/30(日) 01:18:48そもそも右辺の無限級数が収束することを言及せずに実数として扱っているのは欠陥問題。
0660１３２人目の素数さん
2007/12/30(日) 01:22:000662MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/30(日) 01:35:11なるほど．では「収束を保証した」ものとして考えてください．
0663１３２人目の素数さん
2007/12/30(日) 01:39:12いちいち書くほどのことか？
0664１３２人目の素数さん
2007/12/30(日) 01:47:09証明せずして保証するのは東大らしからぬ欠陥問題だな
0665１３２人目の素数さん
2007/12/30(日) 01:50:220666１３２人目の素数さん
2007/12/30(日) 02:05:00Sが実数ならば、有理数か無理数かを証明せよ。
Sが実数でないならば、それを証明せよ。
0667１３２人目の素数さん
2007/12/30(日) 02:05:12a_n = Σ[k=0,n] (1/10)^(2^k),
とおく。 2^k ≧1 だから
a_n < Σ[n=1,∞) (1/10)^n = 1/(10-1), …上に有界
a_n は明らかに 単調増加。
a_n は上に有界な単調増加列だから収束する。
高木: ｢解析概論｣ 改訂第3版, 岩波書店, 第1章, §4, 定理6, p.8 (1956)
0668１３２人目の素数さん
2007/12/30(日) 02:05:36収束するのはほとんど自明だろ
0669１３２人目の素数さん
2007/12/30(日) 02:17:00S[n]=納k=1,n](-1)^kとすると、
任意のmに対して
S[2m]-S[2m-1]=(-1)^(2m)=1だから
S=lim[n→∞]S[n]は収束しない
したがって、Sは実数としては定義できない
0670１３２人目の素数さん
2007/12/30(日) 02:35:17｢高校の教育課程に則った証明｣をさせたいというのはわかるけど、それは｢数学的｣じゃ無い気がしてならない。
0671１３２人目の素数さん
2007/12/30(日) 02:37:48確かめられればそれでいいんじゃね
0672１３２人目の素数さん
2007/12/30(日) 02:39:16x^nの微分がnx^{n-1}であることを示せとか
点と直線の距離の公式を証明せよでも通用すると思う
0673１３２人目の素数さん
2007/12/30(日) 02:40:010674１３２人目の素数さん
2007/12/30(日) 02:43:070675１３２人目の素数さん
2007/12/30(日) 02:44:11大学生でもできないかもしれない。
0676１３２人目の素数さん
2007/12/30(日) 02:53:52釣れますか？
0677１３２人目の素数さん
2007/12/30(日) 03:03:040678１３２人目の素数さん
2007/12/30(日) 04:38:51__ _,, -ー ,, / ⌒ ⌒ 丶| 今、どんな気持ち？
(／ "つ`..,： (●) (●) 丶 ねぇ、どんな気持ち？
：/ 俺 :::::i：. ミ (_●_ ) |
：i ─::!,, ﾊｯ ミ ､ |∪| ､彡＿＿__
ヽ.....::::::::: ::::ij(_::● ﾊｯ / ヽノ ＿＿＿/
r " .r ミノ~. ﾊｯ 〉 ／＼ 丶
：|::| ::::| :::i ﾟ。 ￣ ＼ 丶
：|::| ::::| :::|： ＼ 丶
：`.| ::::| :::|_： /⌒＿）
：.,' ::（ :::}： } ﾍ /
：i `.-‐" J´ （（
0679１３２人目の素数さん
2007/12/30(日) 10:41:37さすが冬休み
東大が加法定理証明だしたんだからさ、
このスレでそれを数学的とか議論することじゃない
0681１３２人目の素数さん
2007/12/30(日) 11:04:140682１３２人目の素数さん
2007/12/30(日) 11:10:07寂しかったじゃまいか
0683１３２人目の素数さん
2007/12/30(日) 11:49:48なるほど．じゃあ
lim[n→∞]Σ[k=0,n](1/10)^(2^k)が収束することを示せ
を加えれば満足ですか？
ちなみに東大は「保証する」という明確な言葉は使いませんが，収束が自明であるとして収束性に触れていない問題は出題しています．
0684MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/30(日) 11:54:44m^n+(5m+13)^n=(m+5)^n+(5m+12)^n
ついでに>>683は私です．
0685１３２人目の素数さん
2007/12/30(日) 11:55:43例えば何年度の何番の問題ですか？
0686MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/30(日) 12:13:55今手元に過去問がないので問題番号までは覚えてませんが，91年あたりを見ていただければ．
0687１３２人目の素数さん
2007/12/30(日) 12:34:5391年6番、94年4番、00年3番あたりですかね。
0688１３２人目の素数さん
2007/12/30(日) 12:51:18Oを原点、aを正の実数とし、OAとx軸とのなす角を2θ、ABとxy平面のなす角をθ、
AB=aθに対し、θを0≦θ≦π/2の範囲で動かす。
このとき、ABが作る曲面とy=z=0に囲まれてできる立体の体積を求めよ。
0689１３２人目の素数さん
2007/12/30(日) 13:00:17p[1] = 2 = q[1],
p[2] = 3 = q[2],
p[2k+1] ≧ 6k-1 = q[2k+1],
p[2k+2] ≧ 6k+1 = q[2k+2],
でq[n]を定義する。
Σ[k=3,n] 1/q[k] = (1/5 + 1/7 + 1/9 + …… + 1/q[n]) － {1/9 + 1/15 + …… + 1/(3r[n])}
= (1/2)(2/5 + 2/7 + 2/9 + …… + 2/q[n]) － (1/6)(2/3 + 2/5 + …… + 2/r[n]),
右辺第1項は5～q[n]の奇数を亘り、第2項は6j+3型の奇数(<q[n])を亘る。
ここに q[n] = 3n-4 -{1+(-1)^n}/2, r[n] = 2･[(n-1)/2] -1,
ところで、y=1/x は下に凸だから,
2/5 + 2/7 + 2/9 + …… + 2/q[n] ≦ ∫[4,1+q[n]] (1/x)dx = log{(1+q[n])/4},
2/3 + 2/5 + …… + 2/r[n] ≧ (1/3) + ∫[3,r[n]] (1/x)dx + 1/r[n] = (1/3) + log(r[n]/3) + 1/r[n], … rについて単調増加
よって
Σ[k=3,n] 1/q[k] ≦ (1/2)log{(1+q[n])/4} -(1/18) -(1/6)log(r[n]/3) -1/(6r[n]),
ここで r[n] = 2･[(n-1)/2] -1 ≧ n-3, q[n] ≦ 3n-4 を使うと,
Σ[k=3,n] q_k < (1/2)log{3(n-1)/4} -(1/18) -(1/6)log{(n-3)/3} + 1/(6(n-3))
< (1/2){log(3n/4) -1/n} -(1/18) -(1/6){log(n/3) -3/(n-3)} + 1/(6(n-3))
= (1/2)log(3n/4) -1/(2n) -(1/18) -(1/6)log(n/3) +1/(3(n-3))
≦ (1/2)log(3n/4) -(1/18) -(1/6)log(n/3)
= (1/3)log(Cn)
< (1/3)log(n),
C = (9/8)exp(-1/6) = 0.95229194… <1,
本年もお世話になりますた。それでは皆様、よいお年を……
0690MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/30(日) 14:05:24たぶんそのあたりです．94年はちょっと覚えてませんが．
0691１３２人目の素数さん
2007/12/30(日) 14:09:25m+nC2=mC2+mC1×nC1+nC2
を証明せよ。
0692１３２人目の素数さん
2007/12/30(日) 14:26:38「～を用いて」という表現は東大でもたまにあるが
用いた解法以外がとても思いつくのは困難であると
推測される問題に対する大学側の教育的配慮。
お前の問題は見るなり式変形が頭に浮かぶ問題だし
それであっさり解けることを考えると欠陥問題というか悪問。
それともあれか？
「こんなの見つけたぜ、俺すごいだろ？」
っていうぼくちんイオナズンか？
0693１３２人目の素数さん
2007/12/30(日) 14:30:33空気嫁
0694１３２人目の素数さん
2007/12/30(日) 14:34:57冬休みだからな
クリスマスあたりから変な出題者が何人かいるし変に突っかかる奴も何人かいる
夏休みもこんな感じだったよ
0695１３２人目の素数さん
2007/12/30(日) 14:35:41別におかしくないだろ
こういう指摘をしていかないと悪問がますます多くなる
もしかして691が良問と思ってんの？
0696１３２人目の素数さん
2007/12/30(日) 14:41:50空気読めって、空気読んでない出題してて言うセリフかよｗ
0698MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/30(日) 14:59:35でも拡張して式変形ではなかなか解けないような問題に作り変えて導関数で解かせるようなうまい誘導をつければかなり面白い問題になるかと．
0699１３２人目の素数さん
2007/12/30(日) 15:30:27C[n,k]*C[n,k+1]≡0 (mod n) を証明せよ。
0700１３２人目の素数さん
2007/12/30(日) 15:40:23C[n,k]*C[n,k+1]=n≡0
k=n-1のとき
C[n,k]*C[n,k+1]=n≡0
1≦k≦n-2のとき
C[n,k]*C[n,k+1]={n^2/k(k+1)}C[n-1,k-1]*C[n-1,k]
∴n^2/k(k+1)≡0をいえばよい
n^2はk(k+1)の倍数だが、k+1≦nであり、またkとk+1は互いに素だからn^2/k(k+1)はnの倍数
■
0701１３２人目の素数さん
2007/12/30(日) 15:45:01k=1.
n^2/k(k+1)=9/2.
0702１３２人目の素数さん
2007/12/30(日) 15:56:10指摘㌧っす
n^2/k(k+1)はnの倍数
↓
{n^2/k(k+1)}C[n-1,k-1]*C[n-1,k]はnの倍数
0703１３２人目の素数さん
2007/12/30(日) 15:59:16？
0704１３２人目の素数さん
2007/12/30(日) 16:00:420705１３２人目の素数さん
2007/12/30(日) 16:40:47死ねよｗ
0706１３２人目の素数さん
2007/12/30(日) 16:48:55その前が間違ってるんだから無意味な変更だな
0707１３２人目の素数さん
2007/12/30(日) 17:15:27全部書き直すのが面倒だから省いただけなんだけどね
よーするに
n^2とk(k+1)の公約数がn以下だと言いたいわけ
0708MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/30(日) 17:34:52(1) 8^8の桁数を求めよ．
(2) 8^(8^8)の桁数をmとする．mの最高位の数を求めよ．
0709１３２人目の素数さん
2007/12/30(日) 18:05:366^2と3(3+1)の公約数12が6以下だと言いたいわけね
0710１３２人目の素数さん
2007/12/30(日) 18:09:56例えばn=pq (p>>qは素数), k=q^3.とすると
{n^2/k(k+1)}C[n-1,k-1]*C[n-1,k]={p^2/q(q^3+1)}C[pq-1,q^3-1]*C[pq-1,q^3]
だから,後ろ２つのに項係数も考えないとまずいのでは？
0712１３２人目の素数さん
2007/12/30(日) 19:55:500713１３２人目の素数さん
2007/12/30(日) 20:45:25(1) A[3]及びA[4]を求めよ。
(2) lim[n→∞]A[n]を求めよ。
0714１３２人目の素数さん
2007/12/30(日) 21:52:290715１３２人目の素数さん
2007/12/30(日) 22:05:40まあまあそれくらいは許してやれ
出題する側になればわかるが、数式打ち込みはかなり面倒なんだよ
0716１３２人目の素数さん
2007/12/31(月) 00:00:00ｋ（ｎ ｋ）（ｎ ｋ＋１）＝ｎ（ｎ－１ ｋ－１）（ｎ ｋ＋１）。
（ｎ ｋ）（ｎ ｋ＋１）＝ｎ（（ｎ ｋ）（ｎ－１ ｋ）－（ｎ－１ ｋ－１）（ｎ ｋ＋１））。
（ｎ ０）（ｎ １）｜（ｎ ｋ）（ｎ ｋ＋１）。
（ｎ ０）（ｎ １）（ｎ ２）｜（ｎ ｋ）（ｎ ｋ＋１）（ｎ ｋ＋２）。
0717691
2007/12/31(月) 01:37:38お詫びの問題↓
半径10の円Cがある。半径3の円板Dを、円Cに内接させながら、円Cの演習に沿って滑ることなく転がす。
円板Dの周上の1点をPとする。点Pが、円Cの円周に接してから再び円Cに接するまでに描く曲線は、円Cを2つの部分に分ける。
それぞれの面積を求めよ。
0718１３２人目の素数さん
2007/12/31(月) 02:45:35演習→円周
の間違い。
0719１３２人目の素数さん
2007/12/31(月) 06:57:34Π[k=1,n] {1 + 4(cos(kπ/(2n+1)))^2} = F[2n+1],
Π[k=1,n] {1 + 4(cos(kπ/(2n+2)))^2} = F[2n+2],
ここに
F[m] = (β^m -α^m)/√5 はフィボナッチ数。
α = (1-√5)/2 = -0.61803398875…
β = (1+√5)/2 = 1.61803398875…
ゆえに
A[n] = F[2n+1]/F[2n+2] → 1/β = |α|. (n→∞)
0720MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/31(月) 16:32:09D={(x,y)|0≦|x|≦3，0≦|y|≦3}
および点A(1,0)，B(-1,0)がある．円CはDに含まれ，かつ点A，Bのうちいずれか一方のみを周または内部に含む．円Cの中心が存在する領域を図示し，その面積を求めよ．
よいお年を
0721１３２人目の素数さん
2007/12/31(月) 16:57:560722MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2007/12/31(月) 17:01:39そこは別にまともにとらなくても．数式で表していただければ．
0723１３２人目の素数さん
2007/12/31(月) 17:33:29どの頂点も他方の凸多角形の内部（周囲含む）には存在しない。
このとき、両多角形の辺の交点が奇数になることはあるか？
0724１３２人目の素数さん
2007/12/31(月) 17:37:230725１３２人目の素数さん
2007/12/31(月) 17:44:51意味が良く分からん
一方と他方はどっちもどっちか？
0726１３２人目の素数さん
2007/12/31(月) 17:55:33こんなに日本語の下手な問題が大学受験に出ることは絶対無い。
0727１３２人目の素数さん
2007/12/31(月) 18:08:36ない
0728１３２人目の素数さん
2007/12/31(月) 18:43:36凸でなくとも良い。
0729１３２人目の素数さん
2007/12/31(月) 18:47:390730１３２人目の素数さん
2008/01/01(火) 00:28:340731１３２人目の素数さん
2008/01/01(火) 01:22:46素数が無限に存在することを証明せよ。
0732１３２人目の素数さん
2008/01/01(火) 01:28:21小さい素数から順番に並べればよい。
あるいはn番目のフェルマ数2^(2^n) + 1 の最小素因数とか。
0733１３２人目の素数さん
2008/01/01(火) 01:28:47意味わからん誘導つけるな
0734１３２人目の素数さん
2008/01/01(火) 02:02:260735１３２人目の素数さん
2008/01/01(火) 02:04:44異なるフェルマ数は互いに素
0736１３２人目の素数さん
2008/01/01(火) 02:06:16だいたい高校生がそんなの知ってると思ってるのかね・・・（苦笑）
0737１３２人目の素数さん
2008/01/01(火) 06:04:42ボク知ってますよ
あと素数の逆数和が発散することから証明するやつ知ってます
ただ…益田さんの問題は解けない(泣)
0738１３２人目の素数さん
2008/01/01(火) 06:18:39別に誘導だと思わず、前半と後半を独立で解けばよさそう。
0739MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2008/01/01(火) 08:39:23あっ，あけましておめでとうございます．
>>737
私が素数がらみで何か出題しました？
0740１３２人目の素数さん
2008/01/01(火) 09:33:22あけましておめでとうございます
益田さんの問題が全般的にできないってことです(泣)
ここの人達はなんでそんなに数学ができるのか謎です
0741１３２人目の素数さん
2008/01/01(火) 09:38:33http://news.ameba.jp/domestic/2008/01/9783.html
0742１３２人目の素数さん
2008/01/01(火) 12:21:11を求めよ
0743１３２人目の素数さん
2008/01/01(火) 12:57:55x^2*{(log(1+x))^2 - (log x)^2 } を繰り出したらいいんでないの。
0744743
2008/01/01(火) 12:59:340745１３２人目の素数さん
2008/01/01(火) 14:28:040746１３２人目の素数さん
2008/01/01(火) 14:38:44http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1167587242/
池
0747１３２人目の素数さん
2008/01/01(火) 15:24:170748１３２人目の素数さん
2008/01/01(火) 15:33:24答え「素数となるかどうか」である。証明：自明
0749１３２人目の素数さん
2008/01/01(火) 15:39:44見ると、以下のように書いてある。
Lサイズ10kgで2500円
Sサイズ10kgで2500円
LやSというのは、もちろんみかんの大きさである。
さて、どっちを買うほうが得か･･･？？
0750１３２人目の素数さん
2008/01/01(火) 15:39:53くくり出した残りの極限が 1 になるってか？
あるいはくくり出した方が 1 か？で、答えは？
それから先に進まないっぽいなぁ
0751１３２人目の素数さん
2008/01/01(火) 15:40:231, 2008^（2008＾2008)の桁数を求めよ。
また、｛2008^（2008＾2008)｝＾(-1)で、初めて0でない数が表れるのは小数第何位か、求めよ。
2, 2008^（2008＾2008)の最高位、一の位の数を求めよ。
また、｛2008^（2008＾2008)｝＾(-1)で、初めて表れる0でない数を求めよ。
0752１３２人目の素数さん
2008/01/01(火) 15:48:23スレ違いも甚だしいから失せろ
0753１３２人目の素数さん
2008/01/01(火) 15:51:170754１３２人目の素数さん
2008/01/01(火) 15:52:25その問題もスレ違い
0755１３２人目の素数さん
2008/01/01(火) 15:54:14いい加減うぜーよ
0756１３２人目の素数さん
2008/01/01(火) 15:56:30論理的に説明せよ。
0757１３２人目の素数さん
2008/01/01(火) 15:58:03試験時間150分以内にお前はそれを手計算のみで解けるというのか
0758１３２人目の素数さん
2008/01/01(火) 15:59:500759１３２人目の素数さん
2008/01/01(火) 16:01:59自明
屁理屈で頑張るのはやめとけ、な
なんかお前がＫＹっぽくなってるから
ここ↓に行っとけ
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1167587242/
0760MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2008/01/01(火) 16:05:20>>758
それなら東大っぽい問題を作っていただかないと．最低でも大学入試っぽい問題で現実的に解答可能な問題で．
上の問題は東大はおろか大学入試問題にもなりません．出題した本人も答えられないでしょ？
0761１３２人目の素数さん
2008/01/01(火) 16:05:350762１３２人目の素数さん
2008/01/01(火) 16:21:270763Eurms Eukie M_SHIRAISHI
2008/01/01(火) 16:21:55Yo wa nannno O-Dai gotoki to omoi jukenn sute ukatta ga,
kekkyoku, ikanakatta.
Koukyuu Kannryo no yousei-kou ni suginu.
Kennkyuu-sha ni naritak-uba hoka no Universiy
wo mezase !
saigo ni natta kedo:-
Happy New Year to You and to Us ALL
http://www.age.ne.jp/x/eurms/Ronri_Kaikaku.html
0764１３２人目の素数さん
2008/01/01(火) 16:56:11出題者じゃないから、東大入試の範囲かどうかは保証しかねるが。
0765１３２人目の素数さん
2008/01/01(火) 17:13:44Cauchy の平均値の定理自体は Rolle の定理を使えばすぐだが、
この辺の知識がないと苦しい。誘導無しではどうかと。
普通の平均値の定理でも評価次第では上手くいくかも。
0766１３２人目の素数さん
2008/01/01(火) 17:15:21>>765
0767１３２人目の素数さん
2008/01/01(火) 17:48:42F[m] = {φ^m - (-1/φ)^m}/√5,
φ = (1+√5)/2 = 1.61803398875…
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1043045905/
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1073918716/
http://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html
0768１３２人目の素数さん
2008/01/01(火) 17:54:59誰も>>688を解いてないな
0769１３２人目の素数さん
2008/01/01(火) 19:48:50log(1+x) = log(x) +(1/x) -O(1/2x^2) より
(log(1+x))^(m+1) - (log(x))^(m+1) = (m+1)*{1 -O(1/2x)}(1/x)(log(x))^m,
{(log(1+x))^(m+1) - (log(x))^(m+1)}^n = (m+1)^n*{1 -O(n/2x)}(1/x^n)(log(x))^(mn),
x^(n-m)*{(log(1+x))^(m+1) - (log(x))^(m+1)}^n / {(log(1+x))^(n+1) - (log(x))^(n+1)}^m
= {(m+1)^n/(n+1)^m}｛1 +O((m-n)/2x)}
→ (m+1)^n/(n+1)^m (x→∞)
m=98, n=100,
>743
(x^2)*{ [(log(1+x))^99 - (log(x))^99]／log(x)^98 }^2 ～ 99^2 の間違い。
0770１３２人目の素数さん
2008/01/01(火) 19:51:44オーダー計算はご法度。
0771１３２人目の素数さん
2008/01/01(火) 20:17:37成る程、面白い極限値になるね。
0772１３２人目の素数さん
2008/01/01(火) 21:11:26俺だったらオーダー計算でも満点やるかも知らんが、
一応聞いておきたい。
0773１３２人目の素数さん
2008/01/01(火) 21:57:41初等的なら ｓ＾（ｋ＋１）－ｔ＾（ｋ＋１）＝（ｓ－ｔ）（ｓ＾ｋ＋…ｔ＾ｋ） を使えば良い。
あと個人的には （ｍ＋１）＾ｎ／（ｎ＋１）＾ｍ＝｛（ｍ＋１）＾（１／ｍ）／（ｎ＋１）＾（１／ｎ）｝＾ｍｎ
を用いて先に （ｍ＋１）＾（１／ｍ）／（ｎ＋１）＾（１／ｎ） を計算すればすっきりした。
ｓ＾ｋ＋…ｔ＾ｋ の部分が ｍ＋１、ｎ＋１ に相当するのが見え易い。
0774773
2008/01/01(火) 22:03:08ま、通じるか。
0775１３２人目の素数さん
2008/01/01(火) 22:21:520776MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2008/01/01(火) 23:14:33この立方体Tに対して，x軸，y軸それぞれに平行な光線を当て，yz平面，xz平面にできた影の面積をそれぞれS[1]，S[2]とする．
S[1]+S[2]の最大値を求めよ．
0777１３２人目の素数さん
2008/01/01(火) 23:17:40なぜに最小値を問わないにょか？
0778１３２人目の素数さん
2008/01/01(火) 23:40:04http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1042887886/l50
で逃亡した人？ここでも逃亡？
0779１３２人目の素数さん
2008/01/02(水) 00:07:38「S[1]+S[2]のとりうる値の範囲を求めよ」でもよかったんですが，東大はどういうわけか片方しか聞きたがらない傾向があるんですよ．
とりわけ最大値だけを聞くことが多いので真似してみました．
0780MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2008/01/02(水) 00:08:27名前ぬけてました．779は私です．
0781１３２人目の素数さん
2008/01/02(水) 00:11:230782MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2008/01/02(水) 00:22:41元ネタは別の問題なので，おっしゃられてる正四面体の問題がどのようなものなのか分かりませんが，家帰ったら過去問見ときます．情報サンクスです．
0783１３２人目の素数さん
2008/01/02(水) 01:39:36{\large $\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^{m-n}[\{\log(1+x)\}^{n+1}-(\log x)^{n+1}]^{m}}{[\{\log(1+x)\}^{m+1}-(\log x)^{m+1}]^{n}}$}
$=\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^{m-n}\{\log(1+x)-(\log x)\}^{m}[\{\log(1+x)\}^{n}+\{\log(1+x)\}^{n-1}(\log x)+\
text{・・・}+\{\log(1+x)\}^{n-k}(\log x)^
{\mathrm{k}}+\text{・・・}+(\log x)^{n}]^{m}}{\{\log(1+x)-(\log x)\}^{n}[\{\log(1+x)\}^{m}+\{\log(1+x)\}^{m-1}(\log x)+\text{・・・}+
\{\log(1+x)\}^{m-k}(\log x)^{\mathrm{k}}+\text{・・・}+(\log x)^{m}]^{n}}$
$=\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^{m-n}\{\log(1+x)-(\log x)\}^{m-n}[\{\log(1+x)\}^{n}+\{\log(1+x)\}^{n-1}(\log x)+\text{・・・}+\
{\log(1+x)\}^{n-k}(\log x)^{\mathrm{k}}+\text{・・・}+(\log x)^
{n}]^{m}}{[\{\log(1+x)\}^{m}+\{\log(1+x)\}^{m-1}(\log x)+\text{・・・}+\{\log(1+x)\}^{m-k}(\log x)^{\mathrm{k}}+\text{・・・}+(\log x)^{m}]^{n}}$
=$\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}\{x\log\frac{(1+x)}{x}\
}^{m-n}$・$\displaystyle \{\frac{[\{\log(1+x)\}^{n}+\{\log(1+x)\}^{n-1}(\log x)+\text{・・・}+
\{\log(1+x)\}^{n-k}(\log x)^{\mathrm{k}}+\text
{・・・}+(\log x)^{n}]^{\frac{1}{n}}}{[\{\log(1+x)\}^{m}+\
{\log(1+x)\}^{m-1}(\log x)+\text{・・・}+\{\log(1+x)\}^{m-k}(\log x)^
{\mathrm{k}}+\text{・・・}+(\log x)^{m}]^{\frac{1}{m}}}\}^{mn}$
0784１３２人目の素数さん
2008/01/02(水) 04:02:36\{ \}で括っていないところ。
\cdotsをわざとつかわなかったのだろうか。
なんでtexを書いたのか。普通に打ったほうがはやいｗ
0785１３２人目の素数さん
2008/01/02(水) 10:51:390786１３２人目の素数さん
2008/01/02(水) 11:09:260787１３２人目の素数さん
2008/01/02(水) 11:15:12ここに一般化されてるよ
ttp://dxdy.blog4.fc2.com/blog-entry-12.html
小生君の計算が犬並だが･･･
>>783
>>785
Inftyエディターだと思われ･･
0788１３２人目の素数さん
2008/01/02(水) 12:50:39良く見つけてきたなぁ。
どの様にしたら見つけられるんだ？
0789１３２人目の素数さん
2008/01/02(水) 13:53:33大晦日やったかな
みかんの方程式っていうので、でてた！
落ちぶれ学者 でググったらでたよ！
0790１３２人目の素数さん
2008/01/02(水) 14:15:27P, Q, R の z 座標をそれぞれ p, q, r とすると p ≦ q ≦ r であり、
PQR を xy 平面上に正射影した図形は、
一辺の長さが1の正三角形であった。
r - p = a として以下の問いに答えよ。
(1) a の取りうる値の範囲を求めよ。
(2) a を用いて △PQR の面積を表せ。
0791１３２人目の素数さん
2008/01/02(水) 14:20:39>みかんの方程式
>>749か？全然気が付かなかった。俺も落ちぶれたものよのうフォッフォッフォッフォッ
0792１３２人目の素数さん
2008/01/02(水) 18:33:03○□○＝○
○□○＝○
○□○＝○
○には1～9までの数を1つずつ重複しないようにいれる。
□には＋または×の記号を入れる。
(1)全ての式を成立させよ。
(2)左辺の○と□を区別しないとき、解は(1)で求めたものに限られることを示せ。
0793１３２人目の素数さん
2008/01/02(水) 19:13:58ところが45の整数の分割は奇遇を異にするため少なくとも1つは×がある。
×が成立するのは2×3＝6のみ。
残りは1,4,5,7,8,9だが、9は明らかに右辺になくてはならず、
＋もしくは×で9を作るのは4＋5＝9のみ。
最後に1＋4＝5ができる。
0794１３２人目の素数さん
2008/01/02(水) 19:15:49奇遇の問題から2×4＝8は不適。
0795１３２人目の素数さん
2008/01/02(水) 19:19:040796１３２人目の素数さん
2008/01/02(水) 19:24:020797１３２人目の素数さん
2008/01/02(水) 19:57:06俺もうダメだわ。
0798１３２人目の素数さん
2008/01/02(水) 20:26:320799MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2008/01/02(水) 20:42:21完全な私のオリジナルで気に入ってるものはいくつかありますが，傑作問題とまでいくものはまずないですな．
傑作問題ができてもたいていは既存の問題の類題のようなもんですからね．
調べてみたら○○や数オリで似た感じのが出てたなんてしばしばです．
だからうまいこと味付けしてオリジナルのように見せる姑息なことばかりやってます．
0800MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2008/01/02(水) 20:43:21○○→○○大学
0801１３２人目の素数さん
2008/01/02(水) 20:52:33木曜日まで試験を行わなかったら、金曜日に試験を行うということが生徒にばれてしまいます。
従って、金曜日に抜き打ち試験を行うことは不可能です。
しかしながら、水曜日まで試験を行わなかったら、木曜日に試験を行うということが生徒にばれてしまいます。
なぜなら金曜日に抜き打ち試験を行うことは不可能なのですから、水曜日まで試験を行わなかった場合、
木曜日に試験を行うしかないとわかるからです。従って、木曜日に試験を行うことも不可能です。
同じ論理で、水曜日、火曜日、月曜日に試験を行うことも不可能です。
さて、本当に理論上抜き打ちで試験を行うことは不可能ですか？
0802１３２人目の素数さん
2008/01/02(水) 20:55:45来週抜き打ちで試験を行うと言った時点で予告試験となるので
抜き打ち試験とはなりえない
証明終
0803１３２人目の素数さん
2008/01/02(水) 21:12:540804１３２人目の素数さん
2008/01/02(水) 21:26:231/2
鳥取大で出てた希ガス
0805１３２人目の素数さん
2008/01/02(水) 21:50:43その問題が大学入試問題として通用するのか？
どこからか文句が出て、「何を書いても（書かなくても）全て満点にします」
と言うことに絶対ならない自信はあるのか？
0806１３２人目の素数さん
2008/01/02(水) 21:58:39小論文やディベートとかで使うことはできるかもな
0807１３２人目の素数さん
2008/01/02(水) 22:00:49a_(n+1)=a_n^√2とする。
このとき、Lim_n→∞ a_nが収束することを示し、
値を求めよ。
0808１３２人目の素数さん
2008/01/02(水) 22:10:40明らかに収束しないだろ
逆じゃないのか？
a_(n+1)=(√2)^a_n
0809１３２人目の素数さん
2008/01/02(水) 22:11:200810１３２人目の素数さん
2008/01/02(水) 22:42:26I_n = ∫{tan(x)}^n dx,
とおく。
1 + {tan(x)}^2 = 1/{cos(x)}^2 = {tan(x)} ' より
I_(n-1) + I_(n+1) = ∫{tan(x)}^(n-1) {tan(x)}' dx = (1/n){tan(x)}^n,
(n-1){I_(n-1) + I_(n+1)}/2 < (n-1)I_(n-1)/2 + (n+1)I_(n+1)/2 < (n+1){I_(n-1) + I_(n+1)}/2,
{(n-1)/2n}{tan(x)}^n < (n-1)I_(n-1)/2 + (n+1)I_(n+1)/2 < {(n+1)/2n}{tan(x)}^n,
x=π/4 とおいて n→∞ とする。
0811１３２人目の素数さん
2008/01/02(水) 23:32:04平均値の定理を利用して,極限値2。
0813１３２人目の素数さん
2008/01/02(水) 23:44:26この種の立体幾何の問題は俺の脳内計算とキーボードとモニタでは解けない。
かと云って、机の上には本とパソコンと食い物とゴミが一杯で
ノートと鉛筆を出す余裕がない。正月過ぎるまで待ってくれ。
0814MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2008/01/02(水) 23:51:28(2) 5桁の素数の個数は2400個以下であることを示せ．
0815１３２人目の素数さん
2008/01/03(木) 00:03:58(1) は易しすぎて東大入試レベルとは云えないと思うが。
0816１３２人目の素数さん
2008/01/03(木) 00:04:590817MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2008/01/03(木) 00:12:29易しくても(1)がないと，受験生は(2)がかなりきつくなりますよ．
誘導が易しいのは東大でも普通ですよ．京大や東工大と違い，単発で難問ばかりだすわけじゃありません．
08181stVirtue ◆.NHnubyYck
2008/01/03(木) 09:57:150819１３２人目の素数さん
2008/01/03(木) 10:09:14f(x)、g(x) は連続で f'(x)＋f(x)g'(x)≦0 かつ f(0)＝0 を満たすとき、
x≧0 で f(x)≦0、x＜0 で f(x)≧0 が成り立つ事を示せ。
0820819
2008/01/03(木) 10:10:04○ 微分可能
また、やっつまった
0821１３２人目の素数さん
2008/01/03(木) 10:45:390822１３２人目の素数さん
2008/01/03(木) 10:55:110823１３２人目の素数さん
2008/01/03(木) 11:02:12[ f(x) exp{g(x)} ]’≦0
0824１３２人目の素数さん
2008/01/03(木) 11:30:09a[1]=1,a[2]=k（k≠0,±1)
(1/a[1]a[2])＋(1/a[2]a[3])＋…(1/a[n]a[n+1])＝a[n]/a[n+1]をみたすとする。
このとき、a[n]の一般項を求めよ。
ヒント：a[n+2]=ka[n+1]-a[n]を導く。
0825１３２人目の素数さん
2008/01/03(木) 11:35:380826１３２人目の素数さん
2008/01/03(木) 13:26:210827１３２人目の素数さん
2008/01/03(木) 13:32:51東大どころか大学入試からもはずれてるし
0828１３２人目の素数さん
2008/01/03(木) 13:50:192x2の行列のある部分集合Fは次の性質を持つ。
・Fの任意の元 a,b について、a-bはFに属する。
そして、Fの任意の元 aは、a-a=0 となる。
・また、Fの任意の元a,bについてa*bはFに属する。
そして、Fのある元eは次のような性質を持つ
・任意のFの元aについて a*e = e*a であり、これはFに属する。
・e*e=e
・-e * -e =e という等式が成り立つ。
・さらに、Fのある元iについて次の等式が成り立つ、i * i = -e
元、e,iを求めよ。
0829MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2008/01/03(木) 14:11:04訂正．(2)が桁数間違えました．
(1) pが5以上の素数ならば，pを6で割った余りは1か5のいずれかであることを示せ．
(2) 5桁の素数の個数は24000個以下であることを示せ．
0830１３２人目の素数さん
2008/01/03(木) 14:23:51a[n+2]=ka[n+1]-a[n]を導けで止めとけばよかったのに
けどそれだと簡単過ぎるから皮肉にもここの住民には向かないってか…？
0831１３２人目の素数さん
2008/01/03(木) 14:58:06最近の東大って難問1題くらいだろ
0832１３２人目の素数さん
2008/01/03(木) 15:37:15☆２ちゃんねらーず編・大学入試数学問題集☆
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/988730706/
もあるでよ。本スレは良問と云うより、原則（入試範囲の）難問と言う事で、
或る程度の期間解答が出なかったら、出題者自身が解答するというスタイルでどうだろう。
0833719
2008/01/03(木) 16:37:47Π_(k=1, [N/2]) (1 + 4*cos(kπ/N)^2) = F_N, (N≧2)
については下記を参照下され…
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1073918716/386
細矢, ｢数学100の問題｣, 数セミ増刊, 日本評論社, p.90-92 (1984.9)
「フィボナッチ数の問題｣
08341stVirtue ◆.NHnubyYck
2008/01/03(木) 16:57:330835１３２人目の素数さん
2008/01/03(木) 17:20:23東大並みにたくさんくる大学は他にもある
0836１３２人目の素数さん
2008/01/03(木) 19:33:04一流私大にも沢山人は来るが、多くを推薦で取っているので
入試の難問は偏差値を上げる為の「見せかけ」問題。
もちろん例外の一流私大もあるであろうが。
0837１３２人目の素数さん
2008/01/03(木) 19:34:290838１３２人目の素数さん
2008/01/03(木) 19:42:50Bを飛ばしてAからCを理解してしまう人間がいる
0839１３２人目の素数さん
2008/01/03(木) 19:55:18http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3613933.html
0840１３２人目の素数さん
2008/01/03(木) 19:57:420841１３２人目の素数さん
2008/01/03(木) 20:54:520842￣￣￣￣￣Ｖ￣￣￣￣￣￣￣
2008/01/03(木) 21:16:03／_ノ ヽ､_＼ ( もう・・・私のばか・・・・！！！
. ／ （● ） (● ）＼ （ また本心と・・・・違うこと・・言っちゃったお・・・
／//////（__人__)///＼ ◯ ほんとは・・・素直になりたいのに////
| | 。O ￣ ￣ ￣ ￣ ￣ ￣ ￣ ￣ ￣ ￣ ￣ ￣ ￣ ￣
＼ ／
ノ ＼
／´ ヽ
| ｌ ＼
ヽ -一''''''"~~｀`'ー--､ -一'''''''ー-､.
ヽ ＿＿＿＿(⌒)(⌒)⌒) ) (⌒＿(⌒)⌒)⌒))
0843１３２人目の素数さん
2008/01/03(木) 21:26:470844１３２人目の素数さん
2008/01/03(木) 21:28:59x^2-x-1=0の二解をα,βとする。フィボナッチ数
Fn={α^(n+1)-β^(n+1)}/(α-β)に、恒等式
x^(2n)-y^(2n)=(x-y)(x+y)Π[k=1,n-1]{x^2+y^2-2xyCos(kπ/n)} 及び
x^(2n-1)-y^(2n-1)=(x-y)Π[k=1,n-1]{x^2+y^2-2xyCos(2kπ/(2n-1))}
を利用し、半角の公式を用いて整理、偶奇をまとめれば、
Fn=Π[k=1,[n/2]]{1+4Cos^2(kπ/(n+1))} が導ける
0845１３２人目の素数さん
2008/01/03(木) 22:25:16成り立つとき,ab+bc+caの最大値を求めよ.ただし,BC=a,CA=b,AB=cとする.
0846１３２人目の素数さん
2008/01/03(木) 22:44:340847１３２人目の素数さん
2008/01/03(木) 23:21:17だから、このスレ年末年始で結構進んだな。
社会人は明日から初仕事だから、ちょっと勢いが鈍るかも。
0848１３２人目の素数さん
2008/01/04(金) 00:15:09おい！MASUDA！ふざけんな！
今回のミスは致命的だろ！
どうやってそこまで数を絞り込むのか必死で考えてた俺に土下座しろ！
0849１３２人目の素数さん
2008/01/04(金) 00:18:00スレの種類も違ってくる。それを過ぎるとナンバリングや残滓ageが増えてくる。
0850１３２人目の素数さん
2008/01/04(金) 00:20:34それでも過大評価かもしれんが。
0851１３２人目の素数さん
2008/01/04(金) 00:24:390852MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2008/01/04(金) 00:46:25これは申し訳ないです．あとで2400はやけに少ないなとノート見直したら0が1個足りずでした．
0853MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2008/01/04(金) 00:58:40(1) a+bp+cp^2=0ならばa=b=c=0であることを示せ．
(2) nを2以上の整数とする．各nについて整数a[n],b[n],c[n]を以下のように定める．
(-1+p)^n=a[n]+b[n]p+c[n]p^2
このとき，a[n]b[n]c[n]≠0であることを示せ．
0854１３２人目の素数さん
2008/01/04(金) 01:02:460855MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2008/01/04(金) 01:05:37(1) a,b,cは整数としてください．
0856１３２人目の素数さん
2008/01/04(金) 01:24:05http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/ohkawa/ohkawa.htm#4
の様に出来るがな
0857１３２人目の素数さん
2008/01/04(金) 01:24:09p = 2^(1/3) とか具体的な値のほうがそれっぽいと思った。
それだけ。
0858１３２人目の素数さん
2008/01/04(金) 01:45:16中線定理より
AB^2 + AC^2 = 2 * ( (3AG/2)^2 + (BC/2)^2 )
∴ b^2 + c^2 - a^2/2 = 9AG^2/2
同様に c^2 + a^2 - b^2/2 = 9BG^2/2, a^2 + b^2 - c^2/2 = 9CG^2/2
辺々加えて両辺に 2/3 を乗じて a^2 + b^2 + c^2 = 3k
0 ≦ (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 2(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) より
ab + bc + ca ≦ 3k で等号は a=b=c のときに成立。
ゆえに最大値は 3k
0859１３２人目の素数さん
2008/01/04(金) 13:28:32Tに(±1,0,0),(0,±1,0),(0,0,±1)向きの光を順次当て、Kの表面にできるTの影の総和をSとする。
Sの最小値、最大値を求めよ。
ただし、順次Tに光を当てている途中、Tの向きは変えないものとする。
0860１３２人目の素数さん
2008/01/04(金) 17:39:220861MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2008/01/05(土) 02:35:00e^x＞3sinx
ここで，eは自然対数の底2.718…，πは円周率3.141…である．
0862１３２人目の素数さん
2008/01/05(土) 05:59:150863１３２人目の素数さん
2008/01/05(土) 10:42:19パソコンでグラフだしてみたけど間違ってはいなかったよ
0864１３２人目の素数さん
2008/01/05(土) 12:42:11ちょうぎりぎり
0865１３２人目の素数さん
2008/01/05(土) 12:54:160866１３２人目の素数さん
2008/01/05(土) 13:06:11sin(a)sin(b)sin(c) + cos(a)cos(b)cos(c)≦1
が成り立つことを証明せよ。
0867１３２人目の素数さん
2008/01/05(土) 13:53:00P(1+(√2)cos(a) , 1+(√2)sin(a))、Q((3/2)(-1+cos(b)) , (3/2)(1+cos(b)))
であらわされる。また、三角形OPQの重心をGとする。3点O,P,Qが一直線上のときGは、各座標の相加平均であらわされる座標とする。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1) Gの軌跡を求めよ。
(2) Gの軌跡に囲まれる領域の面積を求めよ。
0868MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2008/01/05(土) 13:57:14πだと成り立ちません．
0869１３２人目の素数さん
2008/01/05(土) 14:09:36e>1だからx>=0のときe^x>=1で
かつsin3x<=1
しかも唯一e^x=1になるx=0のときもsin3x=0である
だからe^x>sin3x
って違うよね…
0870MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2008/01/05(土) 14:14:21失敬，質問の意図を勘違いしてました．
π=3.14でも示せます．
0871１３２人目の素数さん
2008/01/05(土) 14:34:34sin(a)sin(b)sin(c) + cos(a)cos(b)cos(c)
≦ max{± sin(a)sin(b) ± cos(a)cos(b)} （複号任意）
= max{± cos(a ± b)}
≦ 1
0872１３２人目の素数さん
2008/01/05(土) 14:58:55f(x)=e^x-3sinxとするとf'(x)=e^x-3cosx
で、0≦a≦πでf'(a)=0となるaがただ一つ存在して、与範囲でf(x)はx=aのとき最小となる。
よってf(a)>0を示せば良いが、f'(a)=0よりcosa>sinaを示せばよく、これはa<π/4を示すことになる。
この時グラフの形からe^(π/4)>3/√2を示せば良いことがわかる。
ここでx,t>0でe^x≧(ex/t)^tが成り立つことから、x=π/2,t=3/2として
e^(π/2)≧(eπ/3)^(3/2)
>(2.7*3.1/3)^(3/2)
=√(2.79^3)>√(11/4)^3>√(81/4)=9/2
よってe^(π/2)>9/2よりe^(π/4)>3/√2が言えるので問題の不等式も示される。
0873１３２人目の素数さん
2008/01/05(土) 15:37:28MASUDA氏も解かれてない問題は惜しまずに解答出して欲しい。
0874１３２人目の素数さん
2008/01/05(土) 16:31:19探せば山ほどあるさ
提唱者のは別だが
0875１３２人目の素数さん
2008/01/05(土) 17:03:31http://briefcase.yahoo.co.jp/bc/loveinequality/lst?.dir=/b856
に載るんだからさ。
http://www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/
見たいに。
0877１３２人目の素数さん
2008/01/05(土) 18:36:110878１３２人目の素数さん
2008/01/05(土) 18:46:28そんなマニアックなこと知らねーよ
0879１３２人目の素数さん
2008/01/05(土) 20:21:50御大は、無事、日本に帰られた。飛行機を使われなかったことは確かだ。
ハイテク筏かどうかは不明！
決戦の場は、sci.logic や sci.math だ！！！！
語学力（英語で充分）を磨こう！
目標は、７万語の語彙だ。
"Word Power Made Easy"http://www.amazon.co.jp/s/ref=nb_ss_fb?__mk_ja_JP=%83J%83%5E%83J%83i&url=search-alias%3Denglish-books&field-keywords=Word%81%40Power%81%40Made%81%40Easy&Go.x=17&Go.y=15&Go=Go などを読んでおけ！
尚、同署が読みこなせない者は「試験に出る英単語」から初めよ。完全にますたーするのだ。
恩大は某スレで、こんなことをおっしゃっている：－
Yo(余) ni dekita koto ga sochi-ra ni dekinu wake ga
arouka ! ! ! !
Onaji Mama kutte Doko tugau（違う）！！！！
尚、尚、尚のそのまた尚、「完全にマスターする」の定義だが、眠っている
時に見る夢が英語になった場合を言う。
以上！ 恩大に向かって敬礼！！！！！ Yes Sir と呼べ！
0880MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2008/01/05(土) 20:40:070881１３２人目の素数さん
2008/01/05(土) 21:16:56円周の5等分点のうち、3つ以上は同じ色である。
あとは P,Q,R をうまく選べぶだけだな。(終)
0882881
2008/01/05(土) 21:48:440883１３２人目の素数さん
2008/01/05(土) 21:48:55x_1, x_2, ........ , x_n の対称式は、基本対称式の整式として書き表される事を示せ。
0884１３２人目の素数さん
2008/01/05(土) 21:51:430885１３２人目の素数さん
2008/01/05(土) 21:53:21じゃあ、SinA ＋ B は何て言いますか？？？
Sin（A+B）とSinA＋B の違いが・・・わからない・・・
0886１３２人目の素数さん
2008/01/05(土) 21:54:09もっと東大の出題傾向調べてから書き込め。
0887１３２人目の素数さん
2008/01/05(土) 22:07:20sin(x+y)+sin(x)+sin(y)+1≦0
0888１３２人目の素数さん
2008/01/05(土) 22:24:34sinA+Bだと・・・？
0889１３２人目の素数さん
2008/01/05(土) 22:47:31コイツ馬鹿だわまじで
0890１３２人目の素数さん
2008/01/05(土) 22:48:49exp(x) は下に凸、sin(x)は上に凸だから、 それらに傾きが 3/√2 =a の接線を曳く。
exp(x) ≧ a*{1 + x-log(a)}, … x=log(a) で接する。
3sin(x)≦ a*(1 + x-π/4), … x=π/4 で接する。
辺々引いて
exp(x) - 3sin(x) ≧ a*(π/4 -log(a))
= a*{(π/4) -log(3) +(1/2)log(2)}
= a*(0.785398 -1.098612 +0.346574)
= a*0.0333595…
結局 >872 と同じだ....orz
0891１３２人目の素数さん
2008/01/05(土) 23:05:56Sine A plus B は Sin (A+B)だけど、カッコがどこまでかかるのかが英語だと分からない
Sin(A)＋Bって英語で言いたい時も、Sine A plus B なのか？
っていう事を言いたいんだと思われ・・・
two over n plus two といった場合も、2/n + 2 なのか 2/(n+2)なのか
わかんないといいそうだな・・・
0892１３２人目の素数さん
2008/01/05(土) 23:08:52ネタじゃないよ、マジだよ。
加法定理の証明が出るくらいだからこれくらい出てもおかしくない。
今年出てもおかしくない。
お前出来ないのか？
0893１３２人目の素数さん
2008/01/05(土) 23:11:19最後の一行が余計だったね
0894１３２人目の素数さん
2008/01/05(土) 23:20:36Ｐ0(x)=1
Ｐn+1(x)=Pn(x)( 1 + 2xPn(x) ) ( n=0,1.2・・・・・)
（1） Ｐn(x)の１次の係数を求めよ。
（2） Ｐｎ(x)の次数を求めよ
0896MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2008/01/05(土) 23:33:24高校で扱う基本対称式は3次までと決められていますから，京大で出題されることはあっても東大ではありえない出題です．
0897１３２人目の素数さん
2008/01/05(土) 23:36:28高校生じゃよほどの数学マニアじゃない限り示せない
0898１３２人目の素数さん
2008/01/05(土) 23:47:52弧度法ならおｋ
度数法は・・・無理だろｗ
0899１３２人目の素数さん
2008/01/05(土) 23:47:56そうなのか？昔は受験で証明無しで使った様な記憶があるが
0900MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2008/01/05(土) 23:58:38昔は３次までの制限はなかったかもしれませんが，現行課程では３次までと決められているんです．
東大はカリキュラムには従順ですからはみ出て出題はしないでしょう．
0901１３２人目の素数さん
2008/01/06(日) 00:23:34東大キライ
0902１３２人目の素数さん
2008/01/06(日) 00:29:32俺は佐武の線型代数学で初めて知ったんだがｗ
0903１３２人目の素数さん
2008/01/06(日) 00:39:01切り口に七角形以上の多角形は生じないことを証明せよ。
0904１３２人目の素数さん
2008/01/06(日) 00:54:01二本づつ平行な辺があるので8-2=6角形まで
何かおかしな日本語になってしまう
0905MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2008/01/06(日) 00:59:25基本対称式という名前は登場しませんが，数１の数と式，数２の式と証明で学習します．
ベクトルの一次独立という名前が教科書に登場しないのと同じようなものです．
0906904
2008/01/06(日) 01:05:55どの面にも平行な面があるので8-2=6角形まで
0907１３２人目の素数さん
2008/01/06(日) 03:01:50普通に教科書に一次独立ってかいてありますが。
じゃないと係数比較できないじゃん
0908１３２人目の素数さん
2008/01/06(日) 04:10:38書かなければならないとは決まっていない。
入試問題に1次独立という言葉は出てこない。
0909１３２人目の素数さん
2008/01/06(日) 04:11:18別に旧課程でも旧旧課程でも面白くて難しい問題が提供されれば良いではないか？
京大風とか、昔の私立の奇問・難問でも良い。
MASUDAはこのスレの平均年齢が何歳だと思って居るんだ。
当然ながら全員が高校生でもなければ、全員が塾講師でもない。
MASUDAは問題だけ提供すればよい。但し、良くミスるから、二週間経ったら
解答を書くこと。出来れば出題の背景にある数学理論なども公表して欲しい。
MASUDAもこの板、このスレから有益な情報を得ているのだろう。
お互い様だ。皆が楽しめればよい。自分だけ良い子になるな。
受験生の為のことが書きたかったら受験板に行け。
MASUDAに限らず、コテハンは態度が悪い。
このスレの良い点は、いわゆる２ちゃん用語が少ないことだけだな。
0910１３２人目の素数さん
2008/01/06(日) 04:17:58別に範囲外でもいいじゃないか。
でもぶっちゃけ>>883は面白くないけどな。
0911１３２人目の素数さん
2008/01/06(日) 04:19:440912１３２人目の素数さん
2008/01/06(日) 04:39:020913１３２人目の素数さん
2008/01/06(日) 06:50:54x1x2+x2x3+...+xn-1xn+xnx1の最大最小を求めよ
0914１３２人目の素数さん
2008/01/06(日) 06:55:480915１３２人目の素数さん
2008/01/06(日) 08:24:14難問ならいいという訳でもないし、第一難問スレと言っても問題専門のスレは
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1106654316/
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/
位で、後は各専門分野のスレで質問として提出するくらいだろう。
前提知識も、現行課程から旧々々課程の数学全体程度だろう。
問題の難易度も、私の様なオッサンなら、長くとも一週間掛けて解ける程度だろう。
だから二週間回答が付かなければ出題者が解答例を出して欲しいと云っているのだ。
解答が出れば別解も色々思いつくだろうし、
一見に似てもにつかない類題も沢山出来るだろう。
0916１３２人目の素数さん
2008/01/06(日) 08:28:340917１３２人目の素数さん
2008/01/06(日) 08:49:47俺に云うなよ、お前立てろ
0918１３２人目の素数さん
2008/01/06(日) 08:51:21(x1x2+x2x3+...+xn-1xn+xnx1) - (x1^2+x2^2+x3^2+...+xn^2-1)
= (-1/2){(x1 - x2)^2 + (x2 - x3)^2+ ... + (xn-1 - xn)^2 + (xn - x1)^2} + 1
x_1 = ....... = x_n = 1/√n の時最大値 1
誤答例 ： 回転対称性より、x_1 = ....... = x_n = 1/√n の時最大値 1
所でMASUDAさんに伺いたいが極値を求める時は○○の時、極大値××と書くのが慣習だが、
詳しく書かないと減点なのか？
最大最小の時は××だけで正解（満点）なのか？
0919MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2008/01/06(日) 10:29:18私も面白いならいいと思いますが>>883の方は「東大でも出る」などとおっしゃっておられたので指摘したまでです．
一応受験生も少なからずおられるのでね．
0920１３２人目の素数さん
2008/01/06(日) 10:32:32(1) 数列 {an} は狭義単調減少数列であることを示せ。
(2) 極限値を求めよ。
0921１３２人目の素数さん
2008/01/06(日) 10:35:590922１３２人目の素数さん
2008/01/06(日) 10:36:02死ね
0923１３２人目の素数さん
2008/01/06(日) 10:39:42そこは高校範囲外じゃダメだとアンタには貫き通してほしかったんだが
範囲外だと逆に面白くないだろ 他にもそういうスレはいくらでもあるし
無駄に範囲外を乱発する輩も最近いっぱい出てスレが冷めたからな
ルールがあるからこそ面白い問題になると俺は思う
そのためのスレタイだろ
0924１３２人目の素数さん
2008/01/06(日) 10:48:17このスレで既出
0925１３２人目の素数さん
2008/01/06(日) 10:54:12言いたいことは分からなくもない
大学範囲をだされるとなんか冷める
でもせめて旧課程くらいは認めてもいいんじゃね？
0926１３２人目の素数さん
2008/01/06(日) 11:02:33なら提示しているhttp://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/にお前が行けばいいだけじゃん
単に居座りたいようにしか見えないが
0927920
2008/01/06(日) 11:14:08すみませんでした
0928１３２人目の素数さん
2008/01/06(日) 11:47:36同じじゃなくてちょっと細かくなっている。証明を見て精密化したのだろう。
だから答えを書いて欲しいと云っている。
0929１３２人目の素数さん
2008/01/06(日) 12:41:57http://www.iis.it-hiroshima.ac.jp/~ohkawa/math/math_problem_all.htm
問題１２５
>>914
http://www.iis.it-hiroshima.ac.jp/~ohkawa/math/math_problem_all.htm
問題１９４
>>920
http://www.iis.it-hiroshima.ac.jp/~ohkawa/math/math_problem_all2.htm
問題２１５
>>921
http://www.iis.it-hiroshima.ac.jp/~ohkawa/math/math_problem_all2.htm
問題２３３ｗ
解答の付いていない問題ばかりだが、入試範囲って保証はあるのかよ。>>921は明らかに範囲を超えた（高校生にとって）超難問だと思うがｗ
答えが知りたいんだったらそのページで聞いたら？ｗ
0930１３２人目の素数さん
2008/01/06(日) 13:14:02？
0931MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2008/01/06(日) 14:08:59という数列{a[n]}(n=1,2,…)がある．ただし，第k群は初項k，公差k，項数kの等差数列である．
また，正の整数mに対して，f(m)を数列{a[n]}にmが現れる回数とする．
m≦2008かつf(2m)=2f(m)をみたすmの個数を求めよ．
0932１３２人目の素数さん
2008/01/06(日) 14:43:34982個
0933MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2008/01/06(日) 14:48:19不正解です
0934１３２人目の素数さん
2008/01/06(日) 15:10:26http://www.iis.it-hiroshima.ac.jp/~ohkawa/math/math_problem_all.htm#125
と書けよ
0935１３２人目の素数さん
2008/01/06(日) 16:01:09m=2もか orz。983個
0936１３２人目の素数さん
2008/01/06(日) 16:09:22正解です．
0937１３２人目の素数さん
2008/01/06(日) 19:46:540938１３２人目の素数さん
2008/01/06(日) 21:29:56cosθ＋cos(2θ)＋cos(4θ) = -1/2
sinθ＋sin(2θ)＋sin(4θ) = (√7)/2
を示せ
0939MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2008/01/07(月) 02:05:504x^2 - 4x - 1 = 0
の2解をα,βとする．xについての整数係数2次関数f(x)があり，a,bを整数として
f(x)=x^2-2ax+a^2-2b^2
と表されるとき，適当な整数(m,n)が存在して
f(mα+nβ)=0
とできることを示せ．
0940１３２人目の素数さん
2008/01/07(月) 05:20:12mα+nβ=(m+n)/2+(m-n)√2/2
であるから、
(m+n)/2=a, (m-n)/2=b
とすれば十分。
すなわち、m=a+b , n=a-bとすればよい。
0941１３２人目の素数さん
2008/01/07(月) 05:34:550942１３２人目の素数さん
2008/01/07(月) 06:03:00上の式を A，下の式を B とすると
A * 2sinθ= -sinθ
∴ A = -1/2
B^2 = 3/2 - A/2 = 7/4
sin(2θ) > 0, sin(4θ) = -sin(θ/2), sinθ > sin(θ/2) > 0 より
B > 0 だから B = (√7)/2
>>939
>>941で解かれてるが
α＞βとして α=(1+√2)/2, β=(1-√2)/2
f(x) = 0 を解くと x = a ± |b|√2
m=a+|b|, n=a-|b| とすると m, n は整数で， f(mα+nβ) = f(a + |b|√2) = 0
だから確かに題意を満たすような整数の組 (m, n) が存在した。
なんか面白い背景がありそうだな。
0943１３２人目の素数さん
2008/01/07(月) 06:03:23でa[n]を定める.一般項を求めよ.
0944１３２人目の素数さん
2008/01/07(月) 07:51:15各辺が最大公約数1の整数であるような三角形は
無数にあることを示せ。
0945１３２人目の素数さん
2008/01/07(月) 08:05:530946１３２人目の素数さん
2008/01/07(月) 11:08:21アイゼンシュタイン数で互いに素な条件をだして終了
0947MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2008/01/07(月) 11:50:23x=AB^2+AC^2+AD^2+BC^2+BD^2+CD^2
y=AP^2+BQ^2+CR^2+DS^2
としてy=4x/9が成り立つことを示せ．
0948１３２人目の素数さん
2008/01/07(月) 16:00:30余弦定理から↑AB･↑AC+↑BC･↑BA+↑CA･↑CB=(AB^2+BC^2+CA^2)/2…①
このとき
9AP^2=|↑AB+↑AC+↑AD|^2=AB^2+AC^2+AD^2+2(↑AB･↑AC+↑AC･↑AD+↑AD･↑AB)
9BQ^2=BC^2+BD^2+BA^2+2(↑BC･↑BD+↑BD･↑BA+↑BA･↑BC)
9CR^2=CD^2+CA^2+CB^2+2(↑CD･↑CA+↑CA･↑CB+↑CB･↑CD)
9DS^2=DA^2+DB^2+DC^2+2(↑DA･↑DB+↑DB･↑DC+↑DC･↑DA)
を辺々足して①を使えば9y=4xが示せる。
0949MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2008/01/07(月) 17:10:34xy平面上で1≦x≦n，1≦y≦mをみたす領域にあるnm個の格子点の中から4点を選んでできる正方形の個数をa[n,m]個とし，a[n,m]個の正方形の面積の平均をE[n,m]とする．
(1) 極限値lim[n→∞]E[n,n]/n^2を求めよ．
(2) 極限値lim[n→∞]E[n,2n]/E[n,n]を求めよ．
0950１３２人目の素数さん
2008/01/07(月) 20:58:56http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1199706844/
できたよ新スレ
0951１３２人目の素数さん
2008/01/07(月) 22:25:09nが偶数のとき
x1x2 + x2x3 + … + xnx1 = (1/2){(x1+x2)^2 + (x2+x3)^2 + … + (xn+x1)^2} - (x1^2 + x2^2 + x3^2 + … + xn^2)
≧ - (x1^2 + x2^2 + x3^2 + … + xn^2) = -1,
∴ xk = (-1)^k /√n または xk = (-1)^(k-1) /√n のとき最小値 -1.
最大値は >>918
nが奇数のときは??
>>914
0≦m≦n とする。
Σ[r=0,n] C[n,r](-1)^r r(r-1)…(r-m+1) = {n!/(n-m)!}Σ[r=m,n] C[n-m,r-m](-1)^r
= (-1)^m {n!/(n-m)!}Σ[r'=0,n-m] C[n-m,r'](-1)^r' = (-1)^m {n!/(n-m)!}(1-1)^(n-m) = (-1)^n n!δ_(m,n),
ところで r^m は r^2 = r(r-1) +r, r^3 = r(r-1)(r-2) +3r(r-1) +r のように r(r-1)…(r-L+1) の和に展開できるから、
Σ[r=0,n] C[n,r](-1)^r (r^m) = (-1)^n n!δ_(m,n), (0≦m≦n)
∴ n!
0952１３２人目の素数さん
2008/01/08(火) 00:52:37一般にΣ[1≦i≦n]cos(2iπ/(2n+1))=-1/2
複素数あるいはチェビシェフ（解と係数の関係）からできる。
>>492ってMASUDA氏の問題なんですか？今見たところないのですが。
もしそうなら、ぜひ解答を掲載していただきたい。
これカヴァリエリの原理でも使うのでしょうか。ずっと考えていますがわからない。
たぶん単純計算では出来ない問題なんでしょう。
答えはおそらく、最小値：面に平行に切ったときの正三角形、最大値：正四面体の二つの頂点とそれら２頂点を結ぶ辺の対辺の中点を結ぶ三角形
幾何的に攻める方法
切断面が四角形になる場合のみ
1 四面体の対辺の中点を通る平面はその体積を二等分する
2 正四面体をある平面に射影すると正方形(残り2辺は対角線)になる
3 1,2を合わせて正方形にその切断する平面を射影したとき正方形の面積が1/2になっている
→検討中：正四面体の場合、体積を二等分する平面はその正方形の面積を二等分するか？
4 カヴァリエリの原理を使う場合
http://www.ac-noumea.nc/maths/amc/polyhedr/tetra_.htm
正四面体の対辺に２点をとりその２点を軸にし、その軸に垂直な平面αに射影すると正四面体の切断平面は直線になるが、一方で正四面体は四角形になる。
→検討中：対辺に取った2点がα上では四角形の対角線の交点になる。その交点が通る直線で四角形の面積を二等分すれば、正四面体の体積は二等分されるのか？
たとえ二等分したところで対辺上の2点を動かすと、図形的な考察はほぼ破綻する。（正四面体の射影図形である四角形も変化するから）
注：対辺に取った2点が共に中点の場合、αに射影した正四面体は正方形になる。一般の四面体の場合は平行四辺形
5 計算
比をとってベクトル、メネラウスで計算したが面積を計算するのはほぼ不可能。
二等分する条件
正四面体上の4点が平面にある条件
面積
これらを合わせて大変なことになりました。
0953１３２人目の素数さん
2008/01/08(火) 01:01:043 1,2を合わせて正方形にその切断する平面を射影したとき、射影した切断面の面積が正方形の面積の1/2になっている
0954MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2008/01/08(火) 02:22:28あの問題はいささかやりすぎたと思い削除した問題なんですが，どなたかが勝手にコピペしていったようです．
私の方針を簡単に説明します．面積を求めて，というやり方は計算量から考えて不可能です．大数が好きなはみ出し削り論法のようなやり方で解きます．
例えば最小の場合．切断面を△PQRとしてPを固定したとき，△PQRが最小となるのはPQ=PRのときであることを幾何的に証明すればいいわけです．
AC上にQがAD上にRがあるとしてPQ=PRの状態からQをC側に近づけた点をQ'，RをA側に近づけた点をR'，Q'R'として
∠QPR＜∠Q'PR'
QR＜Q'R'
を示せば△PQR＜△PQ'R'がいえます(角度については詳しい論証が必要)．
次にPQ=PRを保ちつつP,Q,Rを動かして△PQRが最小となるのは正三角形であることを示します．これも正三角形である状態からP,Q,Rを少し動かしてやると面積が大きくなることを言えばいいわけです．
0955１３２人目の素数さん
2008/01/08(火) 03:04:56三角形の場合は１点固定でやれば二等分する条件を加えて斜交座標で考察できますが、はみ出し削りは二等分という条件がある以上むやみに動かせませんよね。
それに切断面の面積が
最小三角形＜最小四角形
最大四角形＜最大三角形
を示さないことには。
一番わからないのは正四面体の体積を二等分する切断平面(四角形の場合)が四角形の場合図形的にどう解釈されるのか。
0956１３２人目の素数さん
2008/01/08(火) 03:15:28削除したってもうサイトのどこにもあの問題ないの？
まだ１問目と２問目しか挑戦してないのにorz
もしかよかったら２問目の解説してくれませんか？
0957１３２人目の素数さん
2008/01/08(火) 07:12:36(1) AB が単位行列になるならば、 BA も単位行列になることを示せ。
(2) AB = A + B を満たすならば、 AB = BA を満たすことを示せ。
0958泉 こなた
2008/01/08(火) 08:10:020959１３２人目の素数さん
2008/01/08(火) 11:07:57ABA=A
BA=E
0960１３２人目の素数さん
2008/01/08(火) 11:42:28(1)成分計算
(2)AB=A+B
∴(A-E)(B-E)=E
(1)より、(B-E)(A-E)=E
∴BA=A+B(=AB)
∴AB=BA
0961１３２人目の素数さん
2008/01/08(火) 11:52:43０点
0962１３２人目の素数さん
2008/01/08(火) 14:49:08AB=Eより、det(A)≠0。以下、959と同じ。
0963１３２人目の素数さん
2008/01/08(火) 15:10:33∃B s.t AB=BA=E⇔B=A^(-1)とかく
ていう定義だから、
detが非零だからといって逆行列A^(-1)を使ったらアウト
問題の趣旨は∃B s.t. AB=Eという仮定だけから逆行列の存在を言えるかどうかってことだと思うけど
0964１３２人目の素数さん
2008/01/08(火) 15:58:07＞AB=Eより、det(A)≠0。
この裏側に成分計算が隠れている突っ込みは受け付けない。
0965MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2008/01/08(火) 15:59:33四角形の最大最小，三角形の最大最小を別々にだして比較するだけです．
四角形の場合はまず，幾何的に内分比の関係式をだし，さらに体積を半分にする条件を加えます．あとは2点固定です．
>>956
1の3乗根をωとして
kを固定したときω^C[n,k](k≦n)が実数となるnが等差数列になる条件を求める問題ですね．
ωは単なる飾りで，ようするにC[n,k]が3の倍数となる条件を求めるわけです．方針は
(1) C[3^m,k]～C[3^m+k-1,k]が3の倍数であることを示す．
→k≧2のとき公差が1となる
(2) C[3^m-1,k]が3の倍数にならないことを示す．
→k=1のみ可
(3) C[n,1]=nで成立することを示す．
0966１３２人目の素数さん
2008/01/08(火) 16:51:57＞幾何的に内分比の関係式をだし，さらに体積を半分にする条件を加えます．あとは2点固定です．
これは>>952の5にあたる考え方です。
AB,BC,CD,DA上にそれぞれP,Q,R,Sをa:1-a,b:1-b,c:1-c,d:1-dとなるようにとり、これらが同一平面上にある条件は
PQRSを底面として頂点がI(=A,B,C,D)の四角錘の体積をV_Iとすると
(V_B/V_A)*(V_C/V_B)*(V_D/V_C)*(V_A/V_D)=1からabcd=(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)
平面が体積を二等分する条件
ちょっと書いたものが今見あたらないですが、対称式でもない複雑な式だったと思います。
これらの条件を使って2点固定→幾何とするのはあまりに大変
二点を固定するといってもこの二点は中点でないときは・・・できるのですか？
a>1/2,b<1/2でP,Qを固定する。BD側にある立体と,AC側にある立体の体積の考察
この2点を通る平面が
Dを通るとき体積関係は明らかにBD側(三角錐D-BQP)<AC側(四角錘D-APQC)
Cを通るとき体積関係はBD側正四面体ABCD>AC側は面になるので0
だからたかだか1組しか取れないと思うのですが。
要するに２点固定した方法では不可能と思います。
固定法で思いついたのが
平面が正四面体の外心を通るとき二等分するか
上記4のカヴァリエリの原理
3の射影平面
0967MASUDA ◆5cS5qOgH3M
2008/01/08(火) 20:09:18その内分比の置き方だと対称式が見えにくいです．次のようにおいてください．
a:1-a=1-b:b=c:1-c=1-d:d
0968１３２人目の素数さん
2008/01/08(火) 21:45:59detA≠0⇒Aは逆行列を持つ
これを証明するのにあるBが存在してAB=BA=Eをいう必要があるから
detを使うと循環論法になってしまい証明にはならない
0969１３２人目の素数さん
2008/01/08(火) 22:14:10＞detA≠0⇒Aは逆行列を持つ
＞これを証明するのにあるBが存在してAB=BA=Eをいう必要があるから
んなこたない。
結局成分計算をやる羽目になるので、あまり好きではないが
A=(a,b)
(c,d)
みたいなことをやって、detA=ad-bcみたいに定義してから、detA≠0の場合で逆行列を定義してやればいい。
高校の定義だとこうなってただろ？
一般的でないとか、結局成分計算やってるだろとか、天下り的で好きじゃないとか、
そんな突っ込みは受け付けない。
0970１３２人目の素数さん
2008/01/08(火) 22:25:59いや、AB=EならばBA=Eを証明するのには使えない
お前の言うように定義した逆行列がBである保証はないよ
逆行列の一意性はAB=BA=Eがないといえないから
0971970
2008/01/08(火) 22:35:12作った逆行列をAB=Eにかければいいのか分かった
0972１３２人目の素数さん
2008/01/08(火) 22:35:45>そんな突っ込みは受け付けない
妙な理論を展開しといて何様のつもりかｗ
0973１３２人目の素数さん
2008/01/08(火) 22:38:29だからすまなかったと言ってるだろ
0974１３２人目の素数さん
2008/01/08(火) 23:09:46n=3 のとき
x1x2 + x2x3 + x3x1 = (1/2){(x1+x2+x3)^2 - (x1^2 + x2^2 + x3^2)}
≧ -(1/2)(x1^2 + x2^2 + x3^2) = -1/2,
等号成立は x1+x2+x3 =0 のとき。
0975１３２人目の素数さん
2008/01/09(水) 00:51:58PQRSが同一平面上にある条件bd(1-a)(1-c)=ac(1-b)(1-d)
平面PQRSで正四面体を切ったときのAC側の立体の体積=四角錘A-PQRS+三角錐A-QCR=三角錐A-PQS+三角錐A-QRS+三角錐A-QCR
正四面体ABCDの体積を1として
三角錐A-PQS=ad(1-b),三角錐A-QRS=bd(1-c),三角錐A-QCR=bc
AC側の立体の体積が正四面体の体積の1/2倍になる条件は
ad(1-b)+bd(1-c)+bc=1/2
念のため
BD側も同様に計算すると
c(1-b)(1-d)+d(1-a)(1-b)+(1-c)(1-d)=1/2
合わせて平面PQRSが二等分する条件は
ad(1-b)+bd(1-c)+bc=c(1-b)(1-d)+d(1-a)(1-b)+(1-c)(1-d)=1/2
bd(1-a)(1-c)=ac(1-b)(1-d)
＞MASUDA氏
2点固定で上記2つの条件を満たしながら幾何で平面を回すなんて発狂しそうなんですが。解答ぜひお願いします。
0976１３２人目の素数さん
2008/01/09(水) 02:27:09m≦nで
E[m,n]={6n(m^2+1)-m(4m^2-1)}/{15(2n-m)}
をもちいる感じで。
0977１３２人目の素数さん
2008/01/09(水) 07:42:46カタラン数に3^nかけたやつかな
0978１３２人目の素数さん
2008/01/09(水) 10:14:32いま、正四面体の辺のうち3辺を無作為に選び、そのそれぞれの辺から等分点を1つずつ選んで、それらをA,B,Cとするとき、△ABCの3辺の長さの平方の和AB^2+BC^2+CA^2の値の期待値を求めよ。
0979１３２人目の素数さん
2008/01/09(水) 13:49:31＞△ABCの3辺の長さの平方の和AB^2+BC^2+CA^2の値の期待値を求めよ。
～の～の～の～の～の～の～。
A,B,Cなどと定義せず
＞、それらをA,B,Cとするとき、△ABCの3辺の長さの平方の和AB^2+BC^2+CA^2の値の期待値を求めよ。
三角形を作る時、その三角形の3辺の長さの平方和の期待値を求めよ。
または
各点間の距離の平方和の期待値を求めよ。
などで十分。
どうしても定義したい場合は、A,B,Cは点の性格上、別（P,Q,Rなど）にするのが適当。
さらに、正四面体の頂点も問題文で定義（ABCD,OABCなど）が必要。
0980１３２人目の素数さん
2008/01/09(水) 21:13:00f(x)の逆関数In_f(x)がもとの関数f(x)と一致するとき、f(x)をすべて求めよ。
答えはすぐに分かるだろうが論証がちょっとめんどいかも。
0981１３２人目の素数さん
2008/01/09(水) 21:15:040982１３２人目の素数さん
2008/01/09(水) 22:50:21関数のグラフならすぐ分かるが、関数は多すぎて分からん
0983１３２人目の素数さん
2008/01/09(水) 23:17:47G(x,f(x)) = c, 但し、G(x,y) は定義域で対称かつ単調な連続函数とする。
例: x^n + f(x)^n = a^n, (0≦x≦a)
0984１３２人目の素数さん
2008/01/10(木) 05:00:000985１３２人目の素数さん
2008/01/10(木) 11:37:37984 ：１３２人目の素数さん：2008/01/10(木) 05:00:00
くだらん
0986１３２人目の素数さん
2008/01/10(木) 18:12:48問題の質的にはこのスレよりは劣るんだろうが意味あんの？
0987１３２人目の素数さん
2008/01/10(木) 20:31:18導関数から考えたところで解は一意に定まらないし。
次の命題の真偽を述べよ。
(1)xy平面上において、y=f(x)に逆関数y=In_f(x)が存在するとき、これらの共有点は必ずy=x上に存在する。
(2)関数g(x)が奇関数ならば、f(0)=0である。
(3)a=0かつb=0は|a|+|b|=0と同値である。
0988１３２人目の素数さん
2008/01/10(木) 20:34:240989１３２人目の素数さん
2008/01/10(木) 22:08:020990１３２人目の素数さん
2008/01/10(木) 22:15:272 g(x)が奇関数⇒g(-x)=-g(x)
x=0を代入して,g(0)=0 よって真
3 a=0,b=0⇒|a|+|b|=0
|a|+|b|=0⇒|a|=|b|=0⇒a=b=0
よって真。
0991１３２人目の素数さん
2008/01/10(木) 22:32:01(1)f(x)=1/x (x＞0)とおくと、
In_f(x)=1/x (x＞0)である。
(2,1/2)はy=f(x)とy=In_f(x)の共有点であるが、y=x上の点ではない。
したがって偽
(2)任意のxについてg(-x)=-g(x)だからx=0を代入して
g(0)=-g(0) ∴g(0)=0
したがって真
(3)a=0かつb=0⇔|a|+|b|=0を示す。
→：明らか
←：三角不等式より
|a+b|≦|a|+|b|=0だから|a+b|=0
∴a+b=0 ∴b=-a
よって
0=|a|+|b|=|a|+|-a|=2|a|
∴a=0
したがってb=0
よって、真
0992１３２人目の素数さん
2008/01/10(木) 22:50:16nが奇数のときは
x1x2 + x2x3 + …… + x(n-1)xn + xnx1 ≧ -cos(π/n),
等号成立は xk = (-1)^k √(2S/n)*cos(α + kπ/n) のとき.
0993１３２人目の素数さん
2008/01/11(金) 05:00:000994１３２人目の素数さん
2008/01/11(金) 12:17:09a_1+a_2+・・・+a_n=1/a_nを満たすとき、lim[n→∞]a_n√nを求めよ。
0995１３２人目の素数さん
2008/01/11(金) 12:18:48a_【1】,a_【2】,・・・,a_【i】,・・・をそれぞれ正の実数とし、任意の自然数nに対して
a_【1】+a_【2】+・・・+a_【n】=1/a_【n】を満たすとき、lim[n→∞]a_【n】√nを求めよ。
0996１３２人目の素数さん
2008/01/11(金) 13:31:48既出
0997１３２人目の素数さん
2008/01/11(金) 19:29:40http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1199706844/
0998１３２人目の素数さん
2008/01/11(金) 19:38:270999１３２人目の素数さん
2008/01/11(金) 19:45:441000１３２人目の素数さん
2008/01/11(金) 19:46:25,.ィ"／,. ィ'":.:.:.:＼:.:｀丶､
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