一般に、I = ∫[α、β] {-(x-α)(x-β)} dx = (1/6)(β-α)^3
数II積分の超有名公式。

証明は上の式をまじめに展開して計算。または、
∫(x-α)^2 dx = (1/3)(x-α)^3 +C
∫(x-α) dx = (1/2)(x-α)^2 +C
(xの係数が1の1次式のn乗は、まとめてxのn乗と同じように
積分できる。数IIIで詳しくやる変数変換の限定的な場合)を既知として、

-(x-α)(x-β) = -(x-α)(x-α+(α-β))
= -( (x-α)^2 + (-β+α)(x-α)) より
I = [-(1/3)(x-α)^3 +(1/2)(β-α)(x-α)^2 ] [α、β]
= (1/6)（β-α)^3

x^2に係数を付けて、y=ax^2+… がx=αとx=β ( β>α)で
直線に切り取られているとき、この直線と放物線の囲む面積が
(|a|/6)(β-α)^3 という形でも広く知られている。

と長々と書いたが、ふつーの数IIの参考書なら必ず乗ってる。