>>181,183 ｎ→∞の極限はIIIからじゃなかったか?
ただ、そうすると問題が元からIIの範囲を超えると思う。
(2)は明らかに178への誘導だし。

以下、一見数IIの範囲で解けているけれどダメな解答。
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任意の定数ｋと全ての実数xに対して
f'(x+k)=f'(x)　(※本来ここで数IIを逸脱しているけれど)
これはf'(x)がｘによらない定数であることを示す。
f'(x)=aと置けるからf(x)=ax+b
f(0)=0よりb=0
よってf’(0)=a=f(1)
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f(x)が実数全体で微分可能であることを前提としているが、問題文で
保証されているのはx=0の時だけ。だから、これではダメ。
引用を省いたところに「実数全体で微分可能なf(x)」といった規定があれば
話は別だけど。