数式による完全な議論を示しておく。ただし金額を整数に限るのでは
問題が意味をなさないので、変数kは正の有理数(可算個)を動くとか、
あるいは k=m/2^n (mは奇数、nは整数) の形の有理数を動くなどと
しておく。

さて2つの封筒の中身が (k,2k) になっている確率を p(k) とする。
この2つから確率1/2で一方を選び、中の金額を確認する試行を考える。
そして金額の如何に拘わらず封筒を交換するという戦略をとる。

この試行でお金 k を見いだす確率は (1/2)*p(k) + (1/2)*p(k/2) …(1)
である。この条件下での「金額の増減の平均値」は

(+k)*p(k)/{ p(k) + p(k/2) } + (-k/2)*p(k/2)/{ p(k) + p(k/2) } …(2)

であって、(2)は確率分布によってはプラスになったりマイナスになったり
色々ありうる。しかしよって条件ナシでの「金額の増減の平均値」(Eとする)
は (1)と(2)の積をすべてのkにわたって足し合わせたもので

E = (1/2)Σ{(+k)*p(k)-(k/2)*p(k/2)} …(3)

となる。ここで p(k)が十分速く0に収束するなら上の和は
Σの中の引き算をΣの外に出すことが出来て、

E
＝ (1/2)Σk*p(k)-(1/2)Σ(k/2)*p(k/2)}
＝ (1/2)Σk*p(k)-(1/2)Σl*p(l)} (l=k/2 と変数変換)
＝ 0

となる。結局封筒を交換してもゲットできるお金の期待値は同じである。