大学入試問題ですが、

0<c<1、0≦x<1においてf(x)は連続
f_1(x)=f(x)+∫[0→c] f(t) dt
f_2(x)=f(x)+∫[0→c] f_1(t) dt
・・・
f_n(x)=f(x)+∫[0→c] f_n-1(t) dt
とする。また、
g(c) =∫[0→c] f(t) dt、g_n(c)=∫[0→c] f_n(t) dt　（n=1,2,･･･)

このとき、0<x<1を満たす任意のxに対し、
xf(x)=g(x) +x*lim[n→∞] g_n(x)
f(0)=1
が成り立つ関数f(x)を求めよ。

という問題です。（A.　f(x)=1/(1-x)^2 、オプション問題なので答えしか書いてない）

とりあえず、漸化式のように、f_1-f、f_2-f_1、…、f_n-f_n-1を加えて、

f_n(x) =f(x) +{(1-c^n)/(1-c)}∫[0→c] f(t)dt =f(x) +{(1-c^n)/(1-c)}g(c)

の式がでるんですが、こっからすすめません。一体何をどうやってf(x)の形に
もっていくのでしょうか？よろしくお願いします。