統計初心者なんですけれども質問させてください。
実際の実験とは違うんですが大筋で同様だと思います。

ここに実験群A（メンバー：a1,a2,a3..an)と対照群B（メンバー：b1,b2,b3..bm)がある。
実験群のメンバーには薬を飲んでもらって、対照群のメンバーにはプラセボを飲んでもらった。
そののち彼らそれぞれに何回かゲームをしてもらった。
そのゲームの結果は成功、失敗で与えられる。
たとえば
人 成功/試行回数（成功確率)
a1 22/350
a2 100/700
a3 0/50
(以下略)


こんな感じ。
それでAとBで成功確率に差は有るか調べたいのです。
Rのshapiro.testによればデータは正規分布していないらしいです。大きな山は見えるんですが。
どんな検定が合っているかキーワードだけでも教えていただけませんか？