>>1

この問題は因数分解がキイテキマス。
覚えておくといいです。
x^3+y^3+z^3-3xyz=0
⇔ (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)=0
x,y,zは正整数ですから 0より大きいので、
(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)=0 が必要です。
両辺２倍すると、
(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx)=0
⇔ x^2+x^2+y^2+y^2+z^2+z^2-2xy-2yz-2zx=0
⇔ (x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(z^2-2zx+x^2)=0
⇔ (x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 = 0

ということは x-y = y-z = z-x = 0ですね。
ということは x=y=zが唯一の解のパターンです。