ポアンカレー予想って、ググったら、

>単連結な3次元閉多様体は3次元球面S3に同相である

って言うだけの、えらいシンプルな予想なんだね。
領域内の任意の閉曲線が一点に縮められるが単連結って言うんでしょ？
要するに、ドーナツ状じゃないって言うことでしょ。

ドーナツ状じゃない多様体が、球体と同相って言うのは、トポロジー的に当たり前のような
気もするんだけど…。
まあ、実際はそんな簡単な話じゃないんだろうけど。