pをp≡1(mod20)を満たす素数とする。
このとき平方剰余の法則に従えばn^2+1≡0(mod p)を満たす整数nは
0≦n<pに2つ存在し、一方は0≦n<(p-1)/2を満たす。

uを整数としてこのnをn=(p-1)/2-uとおけば
このn,pが題意を満たすための必要十分条件は、n^2+1をpが割り切ることは示されているから
p≧2n+√(2n)+1
であり、この不等式はn=(p-1)/2-uを代入すれば容易に
p≦4u^2+2u+1と同値であることがわかる。

この不等式を示せれば、はじめにおいたpは無数にあることから（有名事実で、簡単に示せる）
題意が証明されることになる。

さて、今　n^2+1≡0(mod p)⇔(2n)^2+4≡0(mod p)⇔(p-1-2u)^2+4≡0(mod p)
⇔(2u+1)^2≡-4(mod p)
であるが、p-4≡1-4(mod 5)≡2(mod 5)であるからp-4は平方数でない。
さらに、その偶奇から明らかに(2u+1)^2は2p-4と異なる。
ゆえに(2u+1)^2≧3p-4が必要で、この不等式から
p≦1/3*(4u^2+4u+5)<4u^2+2u+1なので、先の不等式が言える。