>>445
おそらく、お弟子さんが、境界付き多様体の定義をわからない、
とおっしゃる理由は、「区切られた部分」の定義にかかっていると思われます。
正直に言って、「区切られた部分」と言う言い回しは、
数学的には厳密とは、言いがたいです。
多様体の基礎では、p.303-304 の、ストークスの定理の部分ですね？
そこの記号を使って解説しましょう。

１）まず、L_1, ... , L_l は、互いに交わらない、
M の (m-1)次元の部分多様体とします。

２）次に、N は、M の閉部分集合とします。M における N の内部 N^i
(「内部」は、位相空間論で考える「内部」としてお考えください)は、
L_1, ... , L_l のどれとも交わらない、とします。

３）さらに、M における N^i の閉包は、
N' := N^i ∪ L_1 ∪・・・∪ L_l
に等しく、またまた、さらに、N'=N が成り立つ。

以上、　1),2),3) の条件が満たされるとき、N を、M の、
境界を持つ m 次元部分多様体である、と定義します。

この種の定義は、L.Schwartz 「解析学 5」（東京図書）の、p.105
に、すっきりした形の定義を見出すことができます。
図書館でご覧になれるでしょう。