>>66
すでに中学で、y=ax^2 (a>0) の形の関数は、xの範囲を実数全体（=数直線全体）に
取ったときでも最小値y=0を取る、というのを学習してると思うが。

これを例にすれば分かるように、関数の形によっては定義域に制限がなくても
最小値を取ることはある（最大値をとることも、両方があることだってある）。