＞a=2の場合でなく、きちんと相異なる複素数が存在することを示すべきではないかと思います。

なんで実際の計算が入ってるか、その理由をつかんでいますか？
問題：愛顧となる複素数でこれこれの式が成立する。このとき、文字kが取る値についての
　必要十分条件を求めよ。

解答：もしkが存在するとしたら、(転記された議論により) k=(1±√3i)/2 である。
　(ここまでで必要性完了)
　「このときたとえば」から後は、そのkが実際に与えられた式を満たす可能性が
あることを言うための十分性の議論です。

与式を満たすa,b,c,kは、もしかしたらたった一組しか存在しないかもしれない。
でも、計算したｋが一組でもいいから成立することを言えば、もう「計算した値ｋは
十分に与式を満たす」ことが言え、十分性が成立して、証明は完了します。

ここで下手に一般性を追って文字を使って、それが実際にはたとえばa=bになる含みを
残してしまったら、そちらの方が証明としては欠陥です。