(1+1/x)^x = f(x) とおく。
f(x)は展開すると 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + .... 1/x! となる。
それゆえに f(x+1) > f(x)は確定...①

また
1 + 1 + 1/2 + 1/2^2 + 1/2^3 + .... 1/2^(x-1) > 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + .... 1/x! = f(x)
であるが、不等号の左辺は等比級数なので
1 + 1 + (1 - 1/2^(x-1)) であり、これは明らかに 3未満である。
すると当然 f(x) < 3も保証される...②

①よりf(x)は単調増加、②よりどんなxに対してもf(x)<3
ゆえにf(x)は３未満の有限の値に収束する。
QED