>>281　「どうして」に対する答えとしては、
「整数のときに成立する指数法則を、そのまま成り立たせるため」です。
(以下aは正の数)

指数法則として、 a^p * a^q = a^(p+q) です。
（例：2^2 * 2^3 = 2^5)
ということは、a^p * a^p = a^(p+p)=a^2p です。

ということは、a^(1/2) について、
a^(1/2) * a^(1/2) = a^(2*1/2) = a^1 = a ですよね。
同じ数 a^(1/2) を 掛け合わせて aになる、ということは、
a^(1/2) = √a が適当でしょう? 3乗根等も同じです。