nが7で割り切れない整数であるとき、フェルマーの小定理から
n^6≡1 (mod 7)
2222≡2 (mod 6)
5555≡5 (mod 6)
これと
2222≡3 (mod 7)
5555≡-3 (mod 7)
から
2222^5555+5555^2222≡3^5+(-3)^2≡252≡0 (mod 7)