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　a_4 = (r+q+1)/p,
　a_5 = (a_4 +r+1)/q = a_4*(p+1)/q -1,
　a_6 = (a_5 + a_4 +1)/r = a_4*a_0/q, {但し a_0=(p+q+1)/r}
　a_7 = (a_6 + a_5 +1)/a_4 = (p+1+a_0)/q = a_0*(r+1)/q -1,
　a_8 = (a_7 + a_6 +1)/a_5 = a_0*{(a_4 +r+1)/q}/a_5 = a_0,
より
　a_n の周期は８なので、 a_4 〜 a_8 が整数ならOK.
なお、a_n*a_(n+4) の周期は２,

秋山 仁 + P.フランクル: 「[完全攻略] 数学オリンピック」日本評論社(1991)
p.7〜8