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p>0 とする。
　∫exp(-px)cos(qx)dx = Re{ ∫exp((-p+iq)x)dx }
　= Re{ [1/(-p+iq)]exp((-p+iq)x) }
　= {1/(p^2+q^2)}exp(-px)Re{ (-p-iq)exp(iqx) },
　I(p,q) = ∫[0,∞) exp(-px)cos(qx)dx = p/(p^2+q^2), 　(7)
これはqに関して一様に収束する. よってqに関して0からqまで積分して
　 ∫[0,∞) exp(-px){sin(qx)/x}dx = arctan(q/p),
ここで q=1 として
　 ∫[0,∞) exp(-px){sin(x)/x}dx = arctan(1/p),　　(8)
これは p>0 なる仮定の下において証明されたものである.
しかし p=0 とすれば ∫[0,∞) {sin(x)/x}dx は収束し、また p≧0 のとき exp(-px) ≦1 だから
(8)の左辺は p≧0 において一様収束、従って連続である.
よって p→0 のとき (8)から,
　∫[0,∞) {sin(x)/x}dx = π/2,　　　　　　　　　　(9)
を得る.

つ[教科書]
高木: ｢解析概論｣ 改訂第三版, 岩波書店 (1961)
　第3章 §35 [例3] p.115
　第4章 §48 [例4] p.168-169