レスありがとうございます、整数と√の性質を既知のものとしていいならば　ですか。
厳密にまでしなくていいのでOKかな。。

和・積について閉じている　だけ示して終ってたり、違うノート見たら和・積について閉じている＋和の単位元＝０、積の単位元＝１　とだけ書かれて終ってたりするので、
>>584みたいな簡単そうな問題は和・積について閉じている　だけ示して、
もう少し和の単位元積の単位元が入ってるかわかりずらい問題はそれも示せばいいのかと思って聞いてみました。

教科書見ると、和・積について閉じているものが環である　って書いてあって、すぐ下に>>584の定義が書いてあります。

>>585さんの見ると、４つとも自明なんですよね。。
てことは、和・積について閉じている＋和の単位元積の単位元はこれって書くと、くどいっていうか被ってますよね・・。
いくら考えてもよくわからないし、もうどうすればいいのやら・・OTL