＞和・積について閉じている　と示せば、
＞・和についてアーベル群
＞・積について結合法則が成立
＞・積の単位元１が存在
＞・分配法則が成立
＞のどれを示したことになるのでしょうか？

厳密に言えば、そうはいえない。
ただ、整数と√の性質を既知のものとしていいならば、それらは自明。