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数論の問題

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0001匿名

2007/09/19(水) 12:47:11

数論の問題をたくさん教えてください。

0002１３２人目の素数さん

2007/09/19(水) 12:55:24

0003にょにょ ◆yxpks8XH5Y

2007/09/19(水) 16:19:43

0004１３２人目の素数さん

2007/09/20(木) 00:12:38

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1106654316/

0005四国の住民

2007/10/12(金) 12:10:48

任意の正の整数を入力します。各桁の二乗を加えあわせます。出来上がった数についても同様なことをくりかえします。
この時二乗の和が１になればもとの入力した数を幸福数といいます。
たとえば３６５が幸福数です。

0006四国の住民

2007/10/12(金) 12:45:20

下記のプログラムはAのB乗とCのD乗の和がEのF乗になるときA,B,C,D,E,Fはそれぞれ
いくらかという問題を解くプログラムです。（解の範囲は３０以下としました。言語は十進BASICをつかいました。いろいろ式を自分で変えてたのしんでください。
10 FOR A=1 TO 30
20 FOR B=1 TO 30
30 FOR C=1 TO 30
40 FOR D=1 TO 30
50 FOR E=1 TO 30
60 FOR F=1 TO 30

70 IF A^B+C^D=E^F THEN PRINT A,B,C,D,E,F
80 NEXT F
90 NEXT E
100 NEXT D
110 NEXT C
120 NEXT B
130 NEXT A
140 END

0007四国の住民

2007/10/12(金) 14:42:21

ある数Aがあります。Aの約数の和がA自身となるときAを完全数といいます。例えば
６＝１+２+３となるので６は完全数です。２８＝１+２+４+７+１４となるので２８も完全数です。
ここで約数の和というところを約数の積とした場合には乗法完全数といいます。

0008東京都内の大学生

2007/10/12(金) 15:07:21

次のプログラムはA!＝B!+C!+D!+E!が成り立つときのA，B，C，D，Eの値をもとめるものです。FACT(A)はA!のことです。
桁あふれするときは十進BASICの１０００桁モードを使ってください。（１０００桁モードの使い方はHELP参照）
10 FOR A=1 TO 30
20 FOR B=1 TO 30
30 FOR C=1 TO 30
40 FOR D=1 TO 30
50 FOR E=1 TO 30
60 IF FACT(A)=FACT(B)+FACT(C)+FACT(D)+FACT(E) THEN PRINT A,B,C,D,E
70 NEXT E
80 NEXT D
90 NEXT C
100 NEXT B
110 NEXT A
120 END

0009東京都内の大学生

2007/10/12(金) 15:09:05

10 FOR A=1 TO 30
20 FOR B=1 TO 30
30 FOR C=1 TO 30
40 FOR D=1 TO 30
50 FOR E=1 TO 30
60 IF FACT(A)=FACT(B)+FACT(C)+FACT(D)+FACT(E) THEN PRINT A,B,C,D,E
70 NEXT E
80 NEXT D
90 NEXT C
100 NEXT B
110 NEXT A
120 END

0010東京都内の大学生

2007/10/12(金) 15:11:48

二重に投稿してしまいました。すみません。

0011１３２人目の素数さん

2007/10/12(金) 15:17:15

なんちゅう効率悪いプログラムだ。
BCDEは可換なんだからもっとずっと計算量減らせるだろ。
０点。

0012１３２人目の素数さん

2007/10/12(金) 19:01:11

FACTをGAMMAにする香具師はおらんのか？もちょっと一般化してみせい！

0013１３２人目の素数さん

2007/10/12(金) 19:02:40

問　GAMMAにしたあとさらにｐ進的に成り立つことを確認せよ。

0014NPOの職員

2007/10/15(月) 11:15:56

１６７７７２１６という数を２つの整数の積で表してください。プログラムは下記のようになります。できたらこんどは３つの整数の積で表してください。
10 FOR X=1 TO 10000
20 FOR Y=1 TO 10000
30 IF X*Y=16777216 THEN PRINT X,Y
40 NEXT Y
50 　　NEXT X
60 END

0015九州に住む元公務員

2007/10/15(月) 11:52:56

次のプログラムは（X^3)*Y+5*X*(Y^2)*Z+3*(Z^2)+31=3016という３変数３次の不定方程式を解くものです。　
　プログラムの先頭に書いてあるA=TIMEというのは十進BASICのTIME関数を用いてプログラム開始時の時間をAに代入したものです。
そしてプログラム終了時の最後のほうでB=TIMEとしてプログラム終了時の時間をBに代入しました。
C=B-Aでプログラム実行にかかった時間Cがもとまります。（単位は秒）
10 LET A=TIME
20 FOR X=1 TO 100
30 FOR Y=1 TO 100
40 FOR Z=1 TO 100
50 IF (X^3)*Y+5*X*(Y^2)*Z+3*(Z^2)+31=3016 THEN PRINT X,Y,Z
60 NEXT Z
70 NEXT Y
80 NEXT X
90 LET B=TIME
100 LET 　　C=B-A
110 PRINT C
120 END
式の形を変えていろんな不定方程式を解いてみましょう。
このプログラムでFORのところの100を200に変えてみてください。時間計算量が100*100*100から200*200*200にすなわち約8倍になるはずです。
興味があれば計算量の理論（計算複雑性の理論ともいいます。）の勉強もしましょう。　　

001650歳代のＳＯＨＯ事業者

2007/10/15(月) 12:06:13

次のプログラムは最後の4桁が1361で終わる平方数を求めるプログラムです。
10 LET X=1
20 LET X=X+1
30 LET Y=X*X
40 LET Z=Y-10000*INT(Y/10000)
50 IF Z<>1361 THEN GOTO 20
60 PRINT "X=";X,"X*X";X*X
70 END

001750歳代のＳＯＨＯ事業者

2007/10/15(月) 12:32:00

次のプログラムは最後の3桁に0以外の同じ数が並ぶ平方数を計算するプログラムです。
10 LET X=10
20 LET X=X+1
30 LET Y=X*X
40 LET Z=Y-1000*INT(Y/1000)
50 IF Z=0 THEN GOTO 20
60 LET A=Z/111
70 IF A<>INT(A) THEN GOTO 20
80 PRINT X,Y
90 IF X>10000 THEN GOTO 110
100 GOTO 20
110 END

0018１３２人目の素数さん

2007/10/15(月) 18:23:41

ビットシフト使えば高速化できるのにﾌｩ

0019九州に住む元公務員

2007/10/16(火) 10:25:10

２００７/１０/１５日付　九州に住む元公務員で３変数３次としたところを３変数４次に訂正します。
Xだけに着目すれば３変数３次でもかまいませんが。

0020東京都内の中小業者

2007/10/16(火) 10:45:33

下記のプログラムは自己愛数をみつけるものです。自己愛数とはN桁の数について各桁のN乗の和が自分自身になる数のことです。
例えば１５３＝（１＾３）+（５＾３）+（３＾３）は自己愛数です。自己愛数のことをアームストロング数あるいは完全数字変換ともいいます。
10 FOR I=100 TO 999
20 A=INT(I/100)
30 B=INT(I/10)-10*A
40 C=I-100*A-10*B
50 IF I<>(A^3)+(B^3)+(C^3) THEN GOTO 70
60 PRINT I
70 NEXT I
80 END

0021東北の住民

2007/10/17(水) 13:03:00

次のプログラムはフィボナッチ数をもとめるものです。フィボナッチ数とはA(x+2)＝A(X+1)+A(X)が成り立つ数つまり、現在の項が一つ前ともう一つ前の項の和になっている数のことです。
但し出発点の数はA(1)=1,A(2)=1とします。いろいろと規則を変えて自分なりに楽しんでください。
10 DIM A(100)
20 LET A(1)=1
30 LET A(2)=1
40 FOR X=1 TO 100
50 LET A(X+2)=A(X+1)+A(x)
60 PRINT X+2,A(X+2)
70 NEXT X
80 END

0022関東地方に住む会社員

2007/10/17(水) 14:44:10

数論でファクトリオンという数があります。ファクトリオンとは各桁の階乗の和が自分自身になる数のことです。
例えば145＝1！+4！+5！ですから145はファクトリオンです。各桁の階乗の積が自分自身になる数を第二種ファクトリオンといいます。
下記のプログラムは各桁の階乗の和が自分自身の整数倍となる数を求めるプログラムです。このような数を一般化ファクトリオンと呼んでは
どうでしょうか。プログラムを実行してみればわかりますが例えば997は733に対応する一般化ファクトリオンです。（それともすでに命名されているのでしょうか。）。
なおプログラム中ではSTR$とかVALとかLENなどの文字列関数が使われていますがそれらについては
十進BASICのヘルプを見てください。例えばLENはこのプログラムの場合文字列G$の文字数（長さ）を求めるものです。
10 FOR A=1 TO 10000
20 lET Z=1
30 LET G$=STR$(A)
40 LET Y=LEN(G$)
50 FOR F=1 TO Y

60 LET M$=G$(F:F)
70 LET C=VAL(M$)
80 LET V=FACT(C)
90 LET Z=Z+V
100 NEXT F
110 FOR S=1 TO 6000
120 IF S*A=Z THEN PRINT S,A
130 NEXT S
140 NEXT A
150 END

0023関東地方に住む会社員

2007/10/18(木) 11:17:10

先日のファクトリオンに関する記事で行番号２０のところでＺ＝１をＺ＝０に訂正します。
これとならんで例えば１２０に対応するファクトリオンは６になります。

0024関東地方に住む会社員

2007/10/18(木) 11:30:21

下記のプログラムは分割数（ＰＡＲＴＩＴＩＯＮ　　ＮＵＭＢＥＲ＿）を計算するものです。
分割数とは例えば４の場合４＝４+０＝３+１＝２+２＝２+１+１＝１+１+１+１であるため４の分割数は５です。５の分割数は７です。６の分割数は１１です。
10 LET S=0
20 FOR A=0 TO 5
30 FOR B=0 TO 5
40 FOR C=0 TO 5
50 FOR D=0 TO 5
60 FOR E=0 TO 5
70 IF A+2*B+3*C+4*D+5*E=5 THEN PRINT A,B,C,D,E
80 LET S=S+1
90 END IF
100 NEXT E
110 NEXT D
120 NEXT C
130 NEXT B
140 NEXT A
150 PRINT "S=分割数＝”,S
160 END

0025匿名

2007/10/19(金) 14:32:21

ファクトリオン＝階乗子です。

0026１３２人目の素数さん

2007/10/19(金) 14:55:12

ファクトリオンは明らかに有限個しかない。
　なぜなら、ファクトリオンが(k+1)桁だとすると、
n≧10^k であるが、
ファクトリオンであることより、
n≦9!+9!+9!+ ... +9! = (k+1)9!
つまり、 (k+1)9! ≧ 10^k ・・・☆
知ってのとおり、 k = o(10^k) が成立するので、
　　　（つまり、 k/10^k　→ 0 (k→∞)）
nは上に有界であり、さらに☆を評価することで、
　　　探査範囲を具体的な値で抑えることができる。
　　したがって、（私的には）その問題はそれで終わり。

ここに数論の問題がたくさんあるからオススメ。
http://myhome.cururu.jp/gersdorffite/blog

0027四国の住民

2007/10/23(火) 12:06:58

10 REM OR(オペレーションズリサーチ＝経営科学）の問題をひとつ。
20 REM あるスポーツ用品メーカーではバレーボール、サッカーボール、テニスボールをつくっています。
30 REM バレーボールは一個につき１５０円、サッカーボールは１２０円、テニスボールは３０円の利益があります。
40 REM バレーボール一個につき原料Aを３単位、原料Bを４単位、原料Cを５単位、必要とします。サッカーボールについては一個につき
50 REM 原料Aを５単位、原料Bを３単位、原料Cを４単位、必要とします。テニスボールについては、一個につき原料Aを２単位、原料Bを３単位、
60 REM 原料Cを３単位必要とします。原料Aの供給可能量は一日あたり20単位、原料Bは25単位、原料Cは１５単位です。
70 REM 以上の制約条件のもとで売上利益を最大にするには各ボールを何個作ればよいでしょうか。プログラムを作ってといてみました。
80 LET MAX=0
90 FOR X=0 TO 10
100 FOR Y=0 TO 10
110 FOR Z=0 TO 10
120 IF ( 3*X+5*Y+2*Z<=20) AND (4*X+3*Y+3*Z<=25) AND (5*X+4*Y+3*Z<=15) THEN
130 LET MAX2=150*X+120*Y+30*Z
140 END IF
150 IF MAX2>MAX THEN
160 LET MAX=MAX2
170 PRINT "MAX=",MAX,X,Y,Z
180 END IF
190 NEXT Z
200 NEXT Y
210 NEXT X
220 PRINT MAX
230 END

0028四国の住民

2007/10/23(火) 13:25:45

前述の経営科学の問題で説明不足を補足します。
まずこれはＬＰ問題（線形計画法）です。
目的関数はＭＡＸ２＝１５０*Ｘ+１２０*Ｙ+３０*Ｚです。
制約条件式はプログラム中でＡＮＤの前後の３つの不等式です。

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