キャラ作ってないか?w > 310

Bに行かずに上がり…　2手、確率1/3
B〜Dを1回回って上がり… 6手、確率 1/3 * 2/3
〃 2回回って上がり… 10手、確率 1/3*(2/3)^2

B〜Dのループをn-1回回る時の手数*確率をa[n]とすると a[n]=(4n-2)*(1/3)*(2/3)^(n-1)

a[n]の第1項から第n項までの和をS[n]とすると、S[n]-(2/3)S[n]を作って、
(1/3)S[n] = 2*(1/3) + 4*1/3*(2/3) + 4*(1/3)*(2/3)^2 + … 4*(1/3)*(2/3)^(n-1) - (4n-2)*(1/3)*(2/3)^n
=-2/3 + Σ[k=1,n] (4/3)(2/3)^(k-1) - (4n-2)*(1/3)*(2/3)^n
S[n]=-2+4Σ[k=1,n] (2/3)^(k-1) - (4n-2)*(2/3)^n

求める期待値は、これをｎ→∞にした極限値で、最後の項はこのとき→0。
式の値=期待値は、無限等比級数の和の公式から、
-2+4/(1-2/3) = -2+4*3 = 10。