命題
X を集合とし、Γ を X の部分集合を要素とする集合とする。
A を X の任意の集合とする。

S(Γ) ∩ A = S(Γ∩ A) である。

証明
Ψ = {E ⊂ X | E ∩ A ∈ S(Γ∩ A)} とおく。

E ∈ Ψ, F ∈ Ψ とする。
(E ∩ A) ∩ F = (E ∩ A) ∩ (F ∩ A) ∈ S(Γ∩ A)
従って、
(E - F) ∩ A = E ∩ A - F = E ∩ A - (E ∩ A) ∩ F ∈ S(Γ∩ A)
故に、
E - F ∈ Ψ

E_n ∈ Ψ, n = 1, 2, . . .
とする。
(∪E_n) ∩ A = ∪(E_n ∩ A) ∈ S(Γ∩ A)
従って、
∪E_n ∈ Ψ
以上から Ψ はσ-集合環(過去スレ007の197)である。
Γ⊂ Ψ だから
S(Γ) ⊂ Ψ
よって、
S(Γ) ∩ A ⊂ S(Γ∩ A) である。

他方、S(Γ) ∩ A はσ-集合環である。
Γ∩ A ⊂ S(Γ) ∩ A だから
S(Γ∩ A) ⊂ S(Γ) ∩ A
証明終