補題
X をコンパクト空間とし、
μ を X 上の Borel 測度(>>18)とする。

全てのコンパクト集合(即ち閉集合)が μ に関して外正則(>>19)なら、
全ての Borel 集合は外正則である。

証明
外正則な集合全体を Ψ とおく。
X はコンパクトだから、μ(X) ＜ +∞ である。
従って、>>80 と >>81 より Ψ は単調族(>>82)である。

コンパクト集合全体を含む最小の集合環(過去スレ007の189)を
Γ とする。
>>91 より Γ に属す全ての集合は外正則である。
即ち、Γ ⊂ Ψ である。
よって、Γ を含む最小の単調族を M(Γ) とすると、
M(Γ) ⊂ Ψ である。

一方、>>89 より M(Γ) は σ-集合環(過去スレ007の197)である。
X はコンパクトだから、閉集合はコンパクトである。
よって、M(Γ) は Borel 集合全体と一致する。
証明終