補題
X をハウスドルフ空間とする。
X のコンパクト集合全体を含む最小の集合環(過去スレ007の189)を
Γ とすると、Γ に属す任意の集合 E は
E = (K_1 - L_1) ∪ . . . ∪ (K_n - L_n) の形である。
ここで、 K_i, L_i はコンパクト集合である。

証明
(K_1 - L_1) ∪ . . . ∪ (K_n - L_n) の形の集合全体を Φ とする。
Φ が集合環であることを示せばよい。
A, B ∈ Φ のとき A ∪ B ∈ Φ は明らかである。
A - B ∈ Φ を示せばよい。
A = ∪(K_i - L_i)
B = ∪(M_j - N_j)
K_i, L_i, M_j, N_j はコンパクト集合とする。
E_i = K_i - L_i
F_j = M_j - N_j
とおく。
A - B = ∪E_i - ∪F_j = ∪(E_i - ∪F_j) = ∪(∩(E_i - F_j))

K, L, M, N をコンパクト集合とする。
(K - L) - (M - N)
= (K ∩ L^c) ∩ (M ∩ N^c)^c
= (K ∩ L^c) ∩ (M^c ∪ N)
= (K ∩ L^c ∩ M^c) ∪ (K ∩ L^c ∩ N)
= (K - (L ∪ M)) ∪ ((K ∩ N) - L) ∈ Δ

(K - L) ∩ (M - N)
= (K ∩ L^c) ∩ (M ∩ N^c)
= (K ∩ M) ∩ (L ∪ N)^c
= (K ∩ M) - (L ∪ N) ∈ Δ
証明終