補題
Γ を集合 X の部分集合からなる集合環(過去スレ007の189)とする。

A ∈ M(Γ), B ∈ M(Γ) (>>84) のとき A ∪ B ∈ M(Γ) である。

証明
B ∈ M(Γ) のとき、
Ψ = {A ⊂ X | A ∪ B ∈ M(Γ)} とおく。
>>87 より Ψ は Γ を含むから、Ψ が単調族(>>82)であることを
証明すればよい。

A_n ∈ Ψ, n = 1, 2, . . . で
A_1 ⊂ A_2 ⊂ . . . のとき

A_1 ∪ B ⊂ A_2 ∪ B ⊂ . . . となり
(∪A_n) ∪ B = ∪(A_n ∪ B) ∈ M(Γ)

よって、∪A_n ∈ Ψ

A_n ∈ Ψ, n = 1, 2, . . . で
A_1 ⊃ A_2 ⊃ . . . のとき

A_1 ∪ B ⊃ A_2 ∪ B ⊃ . . . となり
(∩A_n) ∪ B = ∩(A_n ∪ B) ∈ M(Γ)

よって、∩A_n ∈ Ψ
証明終